Problem C. 1650. (January 2021)
C. 1650. Prove the inequality
\(\displaystyle \log_{ab}c\le \frac{\log_ac + \log_bc}{4} \)
for \(\displaystyle a, b, c>1\).
(5 pont)
Deadline expired on February 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A logaritmus azonosságait használva az igazolandó egyenlőtlenség a következő alakban írható:
\(\displaystyle \frac{\ln c}{\ln (ab)}\leq \frac{\frac{\ln c}{\ln a}+\frac{\ln c}{\ln b}}{4}. \)
Mivel \(\displaystyle a,b,c>1\), ezért a \(\displaystyle \frac{4\ln a\ln b\ln (ab)}{\ln c}\) pozitív értékkel szorozva a vele ekvivalens
\(\displaystyle 4\ln a\ln b\leq (\ln a+\ln b)\ln (ab)\)
egyenlőtlenséget kapjuk. Ismét a logaritmus tulajdonságait használva, átrendezve, majd teljes négyzetté alakítva:
\(\displaystyle 4\ln a\ln b\leq (\ln a+\ln b)^2,\)
\(\displaystyle 0\leq (\ln a)^2+(\ln b)^2-2\ln a\ln b,\)
\(\displaystyle 0\leq (\ln a-\ln b)^2.\)
Ez az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenség pedig valóban teljesül, hiszen a jobb oldalon egy valós szám négyzete szerepel. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle \ln a=\ln b\), vagyis, ha \(\displaystyle a=b\).
Ezzel megmutattuk, hogy a feladatban szereplő egyenlőtlenség mindig teljesül, és pontosan \(\displaystyle a=b\) esetén áll fenn egyenlőség.
Megjegyzés. A megoldásban bármilyen alapú logaritmust használhattunk volna a természetes (\(\displaystyle e\) alapú) logaritmus helyett.
Statistics:
46 students sent a solution. 5 points: Albert Ákos, Andó Lujza, Baksay Réka, Biró 424 Ádám, Bodrogi Éva, Dobi Dorina Lili, Duska Máté, Egyházi Hanna, Fekete András Albert, Flódung Áron , Horváth Antal, HyunBin Yoo, Lénárt Réka, Molnár Réka, Németh László Csaba, Szalanics Tamás, Xu Yiling. 4 points: Bakonyi Blanka, Bana Marcell, Horváth 828 Mátyás, Jósvai Dominik, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Kosóczki Balázs, Lukács Márton, Németh Kristóf, Németh Máté Előd, Rátki Gergely, Schneider Anna, Sütő Csenge, Szabó András József , Szirmai Dénes, Téglás Panna, Varga 601 Zalán, Zaránd Andris, Zsoldos Péter. 3 points: 6 students. 2 points: 2 students. 1 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021