Problem C. 1651. (February 2021)

C. 1651. The terms of a number sequence are generated as follows: the first term is \(\displaystyle 895\), and the following term is always obtained by multiplying the sum of the digits of the previous term by \(\displaystyle 61\). Determine the \(\displaystyle 2021\)st term of the sequence, and the sum of the first \(\displaystyle 2021\) terms.

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Számoljuk ki a sorozat első néhány tagját \(\displaystyle a_1=895\)-től kezdve, amíg ismétlődéshez nem jutunk:

\(\displaystyle a_2=61\cdot (8+9+5)=1342,\)

\(\displaystyle a_3=61\cdot (1+3+4+2)=610,\)

\(\displaystyle a_4=61\cdot (6+1+0)=427,\)

\(\displaystyle a_5=61\cdot (4+2+7)=793,\)

\(\displaystyle a_6=61\cdot (7+9+3)=1159,\)

\(\displaystyle a_7=61\cdot (1+1+5+9)=976,\)

\(\displaystyle a_8=61\cdot (9+7+6)=1342=a_2.\)

Innen pedig az értékek ciklikusan ismétlődnek. Tehát a 895 után egy hat hosszú ciklus (1342, 610, 427, 793, 1159, 976) ismétlődik periodikusan.

A 2021 szám 6-os maradéka 5, így \(\displaystyle a_{2021}=a_5=793\).

Az első 2021 tag közül a legelső a 895, utána a fenti hat hosszú ciklus ismétlődik 336-szor (\(\displaystyle a_2,a_3,\dots,a_{2017}\)), végül a soron következő tagok: \(\displaystyle a_{2018}=a_2=1342\), \(\displaystyle a_{2019}=a_3=610\), \(\displaystyle a_{2020}=a_4=427\), \(\displaystyle a_{2021}=a_5=793\). Az első 2021 tag összege tehát:

\(\displaystyle 895+(1342+610+427+793+1159+976)\cdot 336+1342+610+427+793=1\,787\,219.\)

A sorozat 2021-edik tagja 793, az első 2021 tag összege pedig \(\displaystyle 1\,787\,219\).

Statistics:

176 students sent a solution.
5 points:	128 students.
4 points:	23 students.
3 points:	8 students.
2 points:	7 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021