Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1653. feladat (2021. február)

C. 1653. Hány megoldása van az egész számpárok körében az

\(\displaystyle |x|+|y|<2021 \)

egyenlőtlenségnek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha \(\displaystyle x,y\) olyan egészek, melyekre \(\displaystyle |x|+|y|<2021\), akkor \(\displaystyle |x|+|y|\) értéke \(\displaystyle 0,1,\dots,2020\) lehet. Legyen most \(\displaystyle 0\leq k\leq 2020\), és határozzuk meg, hány egész számpárra lesz \(\displaystyle |x|+|y|=k\).

Ha \(\displaystyle k=0\), akkor csak egyre: \(\displaystyle (x,y)=(0,0)\) esetén. Ha \(\displaystyle 0<k\) egész szám, akkor \(\displaystyle x\) értékére biztosan \(\displaystyle -k\leq x\leq k\). Ha \(\displaystyle x=k\) vagy \(\displaystyle x=-k\), akkor \(\displaystyle y=0\) kell legyen, ha pedig \(\displaystyle -k<x<k\), akkor \(\displaystyle y=k-|x|\) és \(\displaystyle y=|x|-k\) lesznek megfelelők. Így két olyan \(\displaystyle x\) érték van, amihez egyetlen megfelelő \(\displaystyle y\) található, és \(\displaystyle 2k-1\) olyan \(\displaystyle x\) érték van, melyhez kettő-kettő megfelelő \(\displaystyle y\) található. Vagyis az \(\displaystyle |x|+|y|=k\) egyenlet egész megoldásainak száma \(\displaystyle 2\cdot 1+(2k-1)\cdot 2=4k\).

Ezek alapján az \(\displaystyle |x|+|y|<2021\) egyenlőtlenség egész megoldásainak száma \(\displaystyle 1+4+8+\dots+4\cdot 2020=1+4\cdot \frac{2020\cdot 2021}{2}=8164841\).


Statisztika:

A C. 1653. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. februári matematika feladatai