A C. 1655. feladat (2021. február)

C. 1655. Oldjuk meg a \(\displaystyle 2{(x+y-1831)}^2=(2x-1802)(2y-1860)\) egyenletet a valós számpárok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a:=x-901\) és \(\displaystyle b:=y-930\). Ekkor az egyenlet bal oldalán álló kifejezés \(\displaystyle 2(a+b)^2\) alakban, a jobb oldalán álló kifejezés pedig \(\displaystyle (2a)(2b)=4ab\) alakban írható:

\(\displaystyle 2(a+b)^2=4ab.\)

A négyzetre emelést elvégezve, és az egyenletet rendezve a következő alakot kapjuk:

\(\displaystyle 2a^2+4ab+2b^2=4ab,\)

\(\displaystyle 2a^2+2b^2=0.\)

Mivel valós számok négyzete nemnegatív, ezért \(\displaystyle 2a^2+2b^2\) csak úgy lehet 0, ha \(\displaystyle a=b=0\), vagyis \(\displaystyle x=901\) és \(\displaystyle y=930\). Az átalakítások végig ekvivalensek voltak, tehát ez a számpár valóban megoldást ad.

Vagyis az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle (x;y)=(901,930)\).

Megjegyzés. Az új változók (\(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\)) bevezetése nélkül is a fentiekhez hasonlóan megoldható a feladat, kicsivel több számolással. A zárójeleket felbontva, majd rendezve az egyenletet:

\(\displaystyle 2x^2-3604x+2y^2-3720y+3353402=0,\)

amit 2-vel osztva:

\(\displaystyle x^2-1802x+y^2-1860y+1676701=0,\)

végül teljes négyzeteket kialakítva:

\(\displaystyle (x-901)^2+(y-930)^2=0.\)

Innen a fentiek szerint leolvasható, hogy az egyetlen megoldás \(\displaystyle x=901\), \(\displaystyle y=930\).

Statisztika:

A C. 1655. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai