Problem C. 1655. (February 2021)

C. 1655. Solve the equation \(\displaystyle 2{(x+y-1831)}^2=(2x-1802)(2y-1860)\) over the set of pairs of real numbers.

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a:=x-901\) és \(\displaystyle b:=y-930\). Ekkor az egyenlet bal oldalán álló kifejezés \(\displaystyle 2(a+b)^2\) alakban, a jobb oldalán álló kifejezés pedig \(\displaystyle (2a)(2b)=4ab\) alakban írható:

\(\displaystyle 2(a+b)^2=4ab.\)

A négyzetre emelést elvégezve, és az egyenletet rendezve a következő alakot kapjuk:

\(\displaystyle 2a^2+4ab+2b^2=4ab,\)

\(\displaystyle 2a^2+2b^2=0.\)

Mivel valós számok négyzete nemnegatív, ezért \(\displaystyle 2a^2+2b^2\) csak úgy lehet 0, ha \(\displaystyle a=b=0\), vagyis \(\displaystyle x=901\) és \(\displaystyle y=930\). Az átalakítások végig ekvivalensek voltak, tehát ez a számpár valóban megoldást ad.

Vagyis az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle (x;y)=(901,930)\).

Megjegyzés. Az új változók (\(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\)) bevezetése nélkül is a fentiekhez hasonlóan megoldható a feladat, kicsivel több számolással. A zárójeleket felbontva, majd rendezve az egyenletet:

\(\displaystyle 2x^2-3604x+2y^2-3720y+3353402=0,\)

amit 2-vel osztva:

\(\displaystyle x^2-1802x+y^2-1860y+1676701=0,\)

végül teljes négyzeteket kialakítva:

\(\displaystyle (x-901)^2+(y-930)^2=0.\)

Innen a fentiek szerint leolvasható, hogy az egyetlen megoldás \(\displaystyle x=901\), \(\displaystyle y=930\).

Statistics:

158 students sent a solution.
5 points:	Albert Ákos, Atanaszov Hedvig, Bana Marcell, Bencz Benedek, Biró 424 Ádám, Csilling Dániel, Csorba Mihály, Cynolter Dorottya, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Fehérvári Donát, Fekete András Albert, Foris Dávid, Fórizs Botond, Han Ziying, Horváth Milán, Hosszu Noel, Kelemen Anna, Kiss 625 Dóra, Kovács Benedek Noel, Krakkai Dávid Milán, Kurucz Kitti, Kurucz Márton, Molnár Kristóf, Molnár Réka, Murai Dóra Eszter, Nagy 292 Korina, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Pekk Márton, Princz-Jakovics Anna, Radzik Réka, Rumpler Bianka, Schmercz Blanka, Schneider Anna, Schneider Dávid, Simon 456 Dániel, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Szirtes Hanna, Szittyai Anna, Téglás Panna, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Wrana Gergő, Xu Yiling, Ye Pengcheng, Zaránd Andris, Zsoldos Péter.
4 points:	88 students.
3 points:	2 students.
1 point:	7 students.
0 point:	12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021