Problem C. 1656. (February 2021)

C. 1656. Three consecutive terms of an arithmetic sequence are prime numbers greater than 3. Show that the common difference of the sequence is divisible by 3.

Proposed by L. Németh, Fonyód

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Ha a három elem megegyezik, akkor készen vagyunk, Ha különbözőek, akkor legyen a három prím \(\displaystyle p_1<p_2<p_3\) és a differencia d, ekkor \(\displaystyle p_2=p_1+d\) és \(\displaystyle p_3=p_1+2d\).

Ha a \(\displaystyle d\) szám \(\displaystyle 3k+1\), alakú, akkor a három prím \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_1+3k+1\) és \(\displaystyle p_1+6k+2\), ezek 3-mal vett osztási maradékai \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_1+1\) és \(\displaystyle p_1+2\). Mivel ez három egymást követő szám, ezért legalább az egyik osztható 3-mal, de mivel ezek 3-nál nagyobb prímszámok, ezért ez nem lehetséges. Vagyis \(\displaystyle d\) nem lehet \(\displaystyle 3k+1\) alakú.

Ha a \(\displaystyle d\) szám \(\displaystyle 3k+2\), alakú, akkor a három prím \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_1+3k+2\) és \(\displaystyle p_1+6k+4=p_1+6k+3+1\), ezek 3-mal vett osztási maradékai \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_1+2\) és \(\displaystyle p_1+1\). Mivel ez három egymást követő szám, ezért legalább az egyik osztható 3-mal, de mivel ezek 3-nál nagyobb prímszámok, ezért ez nem lehetséges. Vagyis \(\displaystyle d\) nem lehet \(\displaystyle 3k+2\) alakú.

Vagyis a differencia tényleg \(\displaystyle 3k\) alakú, azaz osztható 3-mal.

Kadem Aziz (Veszprém, Lovassy László Gimn., 12. évf.)

2. megoldás. Mivel nincsen 3-nál nagyobb 3-mal osztható prímszám, ezért a kérdéses tagok 3-as maradéka csak 1 vagy 2 lehet. A skatulya-elv alapján biztosan lesz kettő, melyek 3-as maradéka egyezik. Ha ezek szomszédosak, akkor különbségüket véve kapjuk, hogy a számtani sorozat differenciája 3-mal osztható. Ha nem szomszédosak, akkor pedig az adódik, hogy a számtani sorozat differenciájának 2-szerese 3-mal osztható, amiből szintén következik, hogy a differencia 3-mal osztható.

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Statistics:

39 students sent a solution.
5 points:	Albert Ákos, Andó Lujza, Bana Marcell, Biró 424 Ádám, Dobi Dorina Lili, Duska Máté, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fekete András Albert, Flódung Áron , Fórizs Botond, Gombos Gergely , Horváth 828 Mátyás, HyunBin Yoo, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Kosóczki Balázs, Molnár Réka, Nácsa Dominik, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Rátki Gergely, Ruszinkó Zita, Schneider Anna, Szabó András József , Szalanics Tamás, Téglás Panna, Varga 601 Zalán, Xu Yiling, Zaránd Andris.
4 points:	Csongor 123 Réz.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021