Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1658. feladat (2021. március)

C. 1658. Egy körlapot felosztunk hat egybevágó körcikkre. Mindegyikbe beleírunk egy kört, mely érinti a körcikk határoló ívét és két sugarát. A hat kör együttes területe az eredeti kör területének hányadrészét fedi le?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle l\) körlap sugara \(\displaystyle R\). Így a hat egybevágó körcikk mindegyike egy-egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os középponti szögű körcikk. Egy ilyen körcikkbe írt és a feltételeknek megfelelő kör sugara legyen \(\displaystyle r\), egy ilyen kör területét fogjuk kiszámítani. Ehhez tekintsük a következő ábrát.

Az \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle K\) középpontú \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle OAB\) körcikk \(\displaystyle OB, OA\) sugarait rendre a \(\displaystyle C, D\) pontban, az \(\displaystyle AB\) ívet az \(\displaystyle E\) pontban érinti. A \(\displaystyle KCO\) és \(\displaystyle KDO\) egybevágó derékszögű háromszögek, amelyekben \(\displaystyle KOC\sphericalangle=KOD\sphericalangle=30^{\circ}\), emiatt mindkét háromszögben a \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os szöggel szemben levő befogó fele a közös \(\displaystyle KO\) átfogónak, amelyből \(\displaystyle KO=2r\) következik. Mivel \(\displaystyle KE=r\) is igaz, ezért azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle OE=R=3r.\)

Eszerint az \(\displaystyle l\) körlap \(\displaystyle T\) területe \(\displaystyle T=R^2\pi\) és a hat kis körlap \(\displaystyle t\) együttes területe \(\displaystyle t=6r^2\pi\).

Ugyanakkor (1) felhasználásával \(\displaystyle T=9r^2\pi\), így \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle T\) aránya:

\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{6r^2\pi}{9r^2\pi},\)

amelyből egyszerűsítés után

\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{2}{3},\)

tehát a hat kis kör együttesen az \(\displaystyle l\) kör területének pontosan a kétharmad részét fedi le.


Statisztika:

A C. 1658. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai