Problem C. 1658. (March 2021)
C. 1658. A circular disc is divided into six congruent sectors. A circle is inscribed in each sector. The circle touches the arc of the sector as well as the two radii. What fraction of the area of the large circle is covered by the six smaller circles?
(5 pont)
Deadline expired on April 12, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle l\) körlap sugara \(\displaystyle R\). Így a hat egybevágó körcikk mindegyike egy-egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os középponti szögű körcikk. Egy ilyen körcikkbe írt és a feltételeknek megfelelő kör sugara legyen \(\displaystyle r\), egy ilyen kör területét fogjuk kiszámítani. Ehhez tekintsük a következő ábrát.
Az \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle K\) középpontú \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle OAB\) körcikk \(\displaystyle OB, OA\) sugarait rendre a \(\displaystyle C, D\) pontban, az \(\displaystyle AB\) ívet az \(\displaystyle E\) pontban érinti. A \(\displaystyle KCO\) és \(\displaystyle KDO\) egybevágó derékszögű háromszögek, amelyekben \(\displaystyle KOC\sphericalangle=KOD\sphericalangle=30^{\circ}\), emiatt mindkét háromszögben a \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os szöggel szemben levő befogó fele a közös \(\displaystyle KO\) átfogónak, amelyből \(\displaystyle KO=2r\) következik. Mivel \(\displaystyle KE=r\) is igaz, ezért azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle OE=R=3r.\) |
Eszerint az \(\displaystyle l\) körlap \(\displaystyle T\) területe \(\displaystyle T=R^2\pi\) és a hat kis körlap \(\displaystyle t\) együttes területe \(\displaystyle t=6r^2\pi\).
Ugyanakkor (1) felhasználásával \(\displaystyle T=9r^2\pi\), így \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle T\) aránya:
\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{6r^2\pi}{9r^2\pi},\)
amelyből egyszerűsítés után
\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{2}{3},\)
tehát a hat kis kör együttesen az \(\displaystyle l\) kör területének pontosan a kétharmad részét fedi le.
Statistics:
134 students sent a solution. 5 points: 71 students. 4 points: 28 students. 3 points: 17 students. 2 points: 7 students. 1 point: 3 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 5 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2021