Problem C. 1662. (March 2021)

C. 1662. For what values of the real parameter \(\displaystyle a>0\) will the equation \(\displaystyle x^2+a=\sqrt{x-a}\) have exactly one solution in the set of real numbers? What is the solution of the equation in that case?

(5 pont)

Deadline expired on April 12, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet akkor értelmes, ha \(\displaystyle x\geq a\). Ekkor a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás, hiszen \(\displaystyle x^2+a\) mindenképpen pozitív:

\(\displaystyle (x^2+a)^2=x-a,\)

\(\displaystyle x^4+2ax^2+a^2=x-a.\)

Az egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x^4+2ax^2-x+a^2+a=0.\)

Vegyük észre, hogy a bal oldalon álló polinom szorzattá alakítható a következő módon:

\(\displaystyle x^4+2ax^2-x+a^2+a=(x^2-x+a)(x^2+x+a+1).\)

Az egyenlet megoldásai tehát az \(\displaystyle x^2-x+a\) és az \(\displaystyle x^2+x+a+1\) polinomok gyökei közül az \(\displaystyle a\)-nál nem kisebbek.

Mivel \(\displaystyle 0<a\leq x\), ezért \(\displaystyle x^2+x+a+1>0\), tehát ennek a tényezőnek nincs valós gyöke.

Az \(\displaystyle x^2-x+a\) polinom diszkriminánsa \(\displaystyle 1-4a\), így az \(\displaystyle x^2-x+a=0\) egyenletnek \(\displaystyle a=1/4\) esetén egy, \(\displaystyle a<1/4\) esetén két valós megoldása van, \(\displaystyle a>1/4\) esetén pedig nincs valós megoldás. Ebből rögtön látható, hogy pontosan egy, \(\displaystyle a\)-nál nem kisebb megoldás csak \(\displaystyle a\leq 1/4\) esetén lehetséges.

Ha \(\displaystyle a<1/4\), akkor az \(\displaystyle x^2-x+a=0\) egyenletnek két megoldása van, és mivel \(\displaystyle x<a\) esetén \(\displaystyle x^2-x+a=x^2-(x-a)>0\), ezért mindkét megoldás értéke legalább \(\displaystyle a\), vagyis ebben az esetben az eredeti egyenletnek is 2 megoldása van.

Tehát csak \(\displaystyle a=1/4\) lehetséges. Ekkor az \(\displaystyle x^2-x+a=x^2-x+1/4=0\) egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=1/2\), amire teljesül \(\displaystyle x=1/2\geq 1/4=a\), vagyis ez az érték az eredeti egyenletnek is megoldása.

Tehát az egyenletnek csak \(\displaystyle a=1/4\) esetén van pontosan egy megoldása, ami \(\displaystyle x=1/2\).

Megjegyzés. Ha \(\displaystyle 0<a<1/4\), akkor 2 megoldás van, ha \(\displaystyle 1/4<a\), akkor nincs megoldás.

Statistics:

125 students sent a solution.
5 points:	72 students.
4 points:	8 students.
3 points:	17 students.
2 points:	6 students.
1 point:	1 student.
0 point:	15 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2021