Problem C. 1663. (March 2021)
C. 1663. The circles \(\displaystyle k_1\) and \(\displaystyle k_2\) touch each other externally at point \(\displaystyle E\). Lines \(\displaystyle f\) and \(\displaystyle g\) pass through point \(\displaystyle E\). One of the common external tangents touches the circle \(\displaystyle k_1\) and \(\displaystyle k_2\) at points \(\displaystyle C\) and \(\displaystyle D\), respectively. Line \(\displaystyle h\) is obtained by dropping perpendiculars from point \(\displaystyle C\) onto lines \(\displaystyle f\) and \(\displaystyle g\), and connecting the feet of the perpendiculars. Line \(\displaystyle m\) is obtained in the same way, with perpendiculars from point \(\displaystyle D\). Prove that \(\displaystyle h\) and \(\displaystyle m\) are perpendicular to each other.
(5 pont)
Deadline expired on April 12, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) egyenesek mindegyike metszi a \(\displaystyle k_1, k_2\) köröket másodszor is, legyenek ezek a metszéspontok az \(\displaystyle f\) esetében rendre \(\displaystyle A_1, A_2\), a \(\displaystyle g\) esetén pedig \(\displaystyle B_1, B_2\). A feltételeknek megfelelő ábrát készítettünk, amelyen megrajzoltuk a két kör egyetlen belső érintőjét, az \(\displaystyle n\) egyenest, a \(\displaystyle CD\) egyenes \(\displaystyle n\)-nel való metszéspontját pedig \(\displaystyle N\)-nel jelöltük (1. ábra).
1. ábra
Először azt bizonyítjuk, hogy a \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle DE\) egyenesek merőlegesek egymásra. Az érintőszakaszok hosszának egyenlősége miatt a \(\displaystyle k_1\) körre vonatkozóan \(\displaystyle NC=NE\), tehát az \(\displaystyle NCE\) háromszög egyenlő szárú, a \(\displaystyle k_2\) kör esetén pedig \(\displaystyle ND=NE\), azaz az \(\displaystyle NDE\) háromszög is egyenlő szárú. A szakaszok hosszának egyenlősége tranzitív tulajdonság, ezért
\(\displaystyle NC=NE=ND.\)
Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle CDE\) háromszögben a \(\displaystyle CD\) oldal felezőpontja \(\displaystyle N\), másrészt az \(\displaystyle N\) pont egyenlő távol van a háromszög csúcsaitól, vagyis \(\displaystyle N\) a \(\displaystyle CDE\) háromszög körülírt körének középpontja.
Ez a két tulajdonság egyszerre csak a derékszögű háromszögekre igaz, vagyis az ábrán jelölt szögekre
\(\displaystyle \gamma+\delta=90^{\circ}.\)
Az \(\displaystyle ECE_1F_1\) négyszög húrnégyszög, csúcsai az \(\displaystyle EC\) szakasz mint átmérő fölé rajzolt Thalész-körre illeszkednek. Ezért az \(\displaystyle ECF_1\sphericalangle=\varphi\) jelöléssel a kerületi szögek tételéből azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle EE_1F_1\sphericalangle=\varphi.\) |
Mivel \(\displaystyle CE\perp{DE}\) és \(\displaystyle CF_1\perp{g}\), ezért \(\displaystyle ECF_1\sphericalangle\) és \(\displaystyle DEF_2\sphericalangle\) merőleges szárú hegyesszögek, tehát nagyságuk egyenlő, azaz
\(\displaystyle DEF_2\sphericalangle=\varphi.\)
A \(\displaystyle D, E, E_2, F_2\) pontok a \(\displaystyle DE\) szakasz mint átmérő fölé írt Thalész-körön vannak, vagyis \(\displaystyle DEE_2F_2\) húrnégyszög, és így a kerületi szögek tételéből adódik, hogy \(\displaystyle DE_2F_2\sphericalangle=\varphi\). Ebből azonnal következik, hogy az \(\displaystyle f\) egyenesnek az \(\displaystyle m\) egyenessel bezárt szöge \(\displaystyle 90^{\circ}-\varphi\).
Az (1) egyenlőség alapján az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle h\) egyenesek bezárt szögének nagysága \(\displaystyle \varphi\)-vel egyenlő. Ez éppen azt jelenti, hogy \(\displaystyle h\) és \(\displaystyle m\) bezárt szöge derékszög, azaz merőlegesek egymásra.
Meg kell vizsgálnunk azt az esetet is, amikor az \(\displaystyle f, g\) egyenesek közül az egyik úgy halad át az \(\displaystyle E\) ponton, hogy nem metszi a \(\displaystyle k_1, k_2\) köröket, hanem érinti. Nem sérti az általánosságot, ha úgy választunk, hogy ez a \(\displaystyle g\) egyenes legyen. Ekkor \(\displaystyle g\) nem lehet más, csak az előző ábrán \(\displaystyle n\)-nel jelölt egyenes, amely a \(\displaystyle k_1, k_2\) körök közös belső érintője. Tekintsük az erre vonatkozó 2. ábrát.
2. ábra
Jelöléseink megegyeznek az 1. ábra jelöléseivel, és felhasználjuk az előző esetben kapott eredményt is, amely szerint \(\displaystyle \gamma+\delta=90^{\circ}\). Alkalmazzuk ismét az \(\displaystyle ECF_1\sphericalangle=\varphi\) jelölést, erre az \(\displaystyle ECF_1\) derékszögű háromszögből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \varphi=90^{\circ}-\gamma\), azaz
\(\displaystyle \varphi=\delta.\)
Az előző esethez hasonlóan láthatjuk, hogy \(\displaystyle CE_1EF_1\) húrnégyszög, ezért a kerületi szögek tétele miatt
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle EE_1F_1\sphericalangle=\delta,\) |
tehát az \(\displaystyle f\) egyenes \(\displaystyle \delta\) szöget zár be a \(\displaystyle h\) egyenessel.
Világos, hogy \(\displaystyle DE_2EF_2\) húrnégyszög, ezért \(\displaystyle DE_2F_2\sphericalangle=\delta\), és akkor \(\displaystyle EE_2F_2\sphericalangle=90^{\circ}-\delta\), amely szerint az \(\displaystyle m\) egyenes az \(\displaystyle f\) egyenessel \(\displaystyle 90^{\circ}-\delta\) nagyságú szöget zár be. Ez pedig (2) szerint egyenértékű azzal, hogy \(\displaystyle h\) és \(\displaystyle m\) derékszöget zárnak be, vagyis merőlegesek egymásra.
Minden esetet megvizsgáltunk és azt kaptuk, hogy a feladat feltételei mellett \(\displaystyle h\) és \(\displaystyle m\) merőleges egyenesek.
Ezzel a megoldást befejeztük.
Megjegyzés.
Az első esetben a \(\displaystyle h\) és \(\displaystyle m\) egyenesek az \(\displaystyle A_1B_1E\) és \(\displaystyle A_2B_2E\) háromszögeknek a \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle D\) ponthoz tartozó Simson-Wallace-egyenesei.
Statistics:
16 students sent a solution. 5 points: Szalanics Tamás. 4 points: Andó Lujza, Dobi Dorina Lili, Fekete András Albert, Molnár Réka. 3 points: 5 students. 1 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2021