Problem C. 1664. (March 2021)

C. 1664. Each of the diagonals \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\) and \(\displaystyle CF\) of a convex hexagon \(\displaystyle ABCDEF\) halves the area of the hexagon. Prove that these diagonals are concurrent.

(5 pont)

Deadline expired on April 12, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Indirekt módon bizonyítunk, vagyis föltesszük, hogy az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\), \(\displaystyle CF\) átlók nem metszik egymást egy pontban. A feltevés miatt az átlók az \(\displaystyle MNO\) háromszöget zárják közre.

Az átlók területfelező tulajdonsága alapján felírható, hogy:

\(\displaystyle T_{CDMB}+T_{ABM}=T_{AFEM}+T_{DEM}\)

és

\(\displaystyle T_{CDMB}+T_{DEM}=T_{AFEM}+T_{ABM}.\)

A két egyenlet megfelelő oldalait egymásból kivonva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle T_{ABM}-T_{DEM}=T_{DEM}-T_{ABM}\), ebből azonnal következik, hogy a \(\displaystyle DEM\) és \(\displaystyle ABM\) háromszögek területe egyenlő.

A két háromszög kétszeres területére az ábra jelöléseivel felírhatjuk, hogy:

\(\displaystyle {AM}\cdot{BM}\cdot\sin\varphi={DM}\cdot{EM}\cdot\sin{\varphi},\)

ahonnan (mivel \(\displaystyle \sin{\varphi}\neq0\)):

\(\displaystyle {AM}\cdot{BM}={DM}\cdot{EM}.\)

Ebből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle {AM}\cdot{BM}=({DN+NM})\cdot({EO+OM})>DN\cdot{EO}\).

Hasonló módon adódnak a \(\displaystyle {CN}\cdot{DN}>{FO}\cdot{AM}\) és \(\displaystyle {EO}\cdot{FO}>{BM}\cdot{CN}\) egyenlőtlenségek.

A három egyenlőtlenség megfelelő oldalait összeszorozva az

\(\displaystyle {AM}\cdot{BM}\cdot{CN}\cdot{DN}\cdot{EO}\cdot{FO}>{DN}\cdot{EO}\cdot{FO}\cdot{AM}\cdot{BM}\cdot{CN}\)

egyenlőtlenség adódik, amely nyilvánvalóan nem teljesülhet, hiszen a két oldal megegyezik.

Indirekt feltevésünk tehát hibás volt, ezért a hatszög átlói valóban egy ponton mennek át.

Megjegyzés.

Ha a feladat feltételei teljesülnek, akkor az \(\displaystyle EABD\), \(\displaystyle FBCE\) és \(\displaystyle ACDF\) négyszögek trapézok.

Statistics:

19 students sent a solution.
5 points:	Dobi Dorina Lili, Féger Tamás, Fekete András Albert, Molnár Réka, Németh László Csaba, Szalanics Tamás, Szirmai Dénes, Varga 601 Zalán.
3 points:	4 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2021