Problem C. 1665. (April 2021)
C. 1665. Each letter of the word \(\displaystyle \textit{KÖMAL}\) denotes a digit in decimal notation. Given the equalities below, determine the value of the five-digit number \(\displaystyle \overline{\textit{KÖMAL}}\).
$$\begin{align*} M+\textit{Ö}+L & =\overline{KA}, \tag{1}\\ \textit{Ö}+L & =\overline{KK}, \tag{2}\\ K+\textit{Ö}+M & =10, \tag{3}\\ A\cdot{L} & =42. \tag{4} \end{align*}$$(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feltételek alapján \(\displaystyle K,\ddot{O},M,A,L\) mind a 0, 1, ..., 9 számjegyek valamelyike, továbbá \(\displaystyle K\ne 0\), mert a \(\displaystyle \overline{K\ddot{O}MAL}\) szám ötjegyű. Így (2) alapján a \(\displaystyle \overline{KK}\) kétjegyű szám csak 11 lehet, hiszen \(\displaystyle \overline{KK}=\ddot{O}+L\leq 9+9=18\), vagyis \(\displaystyle K=1\).
Vonjuk ki egymásból az (1) és (3) egyenleteket:
\(\displaystyle (M+\ddot{O}+L)-(K+\ddot{O}+M)=\overline{KA}-10,\)
\(\displaystyle L-K=\overline{KA}-10,\)
amiből \(\displaystyle K=1\) alapján
\(\displaystyle L-1=A.\)
Ezt (4)-gyel egybevetve kapjuk, hogy \(\displaystyle A=6\) és \(\displaystyle L=7\), hiszen a 42 csak egyféleképpen írható fel két egyjegyű (pozitív) szám szorzataként (\(\displaystyle 42=6\cdot 7\)), \(\displaystyle L-1=A\) alapján pedig \(\displaystyle A\)-nak 6-nak, \(\displaystyle L\)-nek pedig 7-nek kell lennie.
Most (2) szerint
\(\displaystyle \ddot{O}=\overline{KK}-L=11-7=4,\)
végül (1) alapján
\(\displaystyle M=\overline{KA}-\ddot{O}-L=16-4-7=5.\)
Így \(\displaystyle K=1,\ddot{O}=4,M=5,A=6,L=7\). Ekkor mind a négy egyenlet valóban teljesül:
\(\displaystyle M+\ddot{O}+L=\overline{KA}=16,\)
\(\displaystyle \ddot{O}+L=\overline{KK}=11,\)
\(\displaystyle K+\ddot{O}+M=10,\)
\(\displaystyle A\cdot{L}=42.\)
Tehát \(\displaystyle \overline{K\ddot{O}MAL}=14567\).
Statistics:
156 students sent a solution. 5 points: 126 students. 4 points: 10 students. 3 points: 5 students. 2 points: 4 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 5 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 4 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021