Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1666. feladat (2021. április)

C. 1666. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle A\) pontból induló belső szögfelezőjének metszéspontja a \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezővel, valamint a \(\displaystyle BC\) oldallal \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle A\) pontból induló belső szögfelező metszéspontja a \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezővel, valamint a \(\displaystyle BC\) oldallal \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle AD\) szögfelezőre a \(\displaystyle K\) pontban állított merőleges az \(\displaystyle AB\) oldalt az \(\displaystyle E\) pontban metszi. Az \(\displaystyle E\) pontból a \(\displaystyle BC\)-re állított merőleges talppontja \(\displaystyle F\). Bocsássunk merőlegest a \(\displaystyle D\) pontból az \(\displaystyle AB\) egyenesre, a merőleges talppontja \(\displaystyle T\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle T\) pont illeszkedik a \(\displaystyle KEF\) háromszög körülírt körére.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük a feladat feltételeinek megfelelően készített ábrát. A \(\displaystyle K\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja, és ez a pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső pontja.

A feladatban leírt konstrukció során keletkezett \(\displaystyle KEF\) háromszög minden esetben létrejön, hiszen az \(\displaystyle EK\) és \(\displaystyle EF\) egyenesek különböznek egymástól.

A \(\displaystyle DE\) szakasz a nyilván különböző \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle F\) pontokból derékszögben látszik, ezért a Thalész-tétel megfordítása szerint a \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle F\) pontok illeszkednek a \(\displaystyle DE\) átmérőjű körre, ez a kör a \(\displaystyle KEF\) háromszög körülírt köre.

A \(\displaystyle DE\), mint átmérő fölé rajzolt kör tartalmazza az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjának mindazon pontjait, amelyekből a \(\displaystyle DE\) szakasz derékszögben látszik, tehát a \(\displaystyle T\) pontot is. Eszerint a \(\displaystyle D\) pontból az \(\displaystyle AB\)-re bocsátott merőleges \(\displaystyle T\) talppontja valóban illeszkedik a \(\displaystyle KEF\) háromszög körülírt körére.


Statisztika:

A C. 1666. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai