Problem C. 1666. (April 2021)

C. 1666. In an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\), let \(\displaystyle K\) and \(\displaystyle D\), respectively, be the intersections of the interior angle bisector drawn from point \(\displaystyle A\) with the interior angle bisector drawn from \(\displaystyle B\), and with side \(\displaystyle BC\). The perpendicular drawn to angle bisector \(\displaystyle AD\) at point \(\displaystyle K\) intersects side \(\displaystyle AB\) at point \(\displaystyle E\). \(\displaystyle F\) is the foot of the perpendicular drawn from point \(\displaystyle E\) to \(\displaystyle BC\). \(\displaystyle T\) is the foot of the perpendicular drawn from point \(\displaystyle D\) to line \(\displaystyle AB\). Prove that \(\displaystyle T\) lies on the circumscribed circle of triangle \(\displaystyle KEF\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük a feladat feltételeinek megfelelően készített ábrát. A \(\displaystyle K\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja, és ez a pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső pontja.

A feladatban leírt konstrukció során keletkezett \(\displaystyle KEF\) háromszög minden esetben létrejön, hiszen az \(\displaystyle EK\) és \(\displaystyle EF\) egyenesek különböznek egymástól.

A \(\displaystyle DE\) szakasz a nyilván különböző \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle F\) pontokból derékszögben látszik, ezért a Thalész-tétel megfordítása szerint a \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle F\) pontok illeszkednek a \(\displaystyle DE\) átmérőjű körre, ez a kör a \(\displaystyle KEF\) háromszög körülírt köre.

A \(\displaystyle DE\), mint átmérő fölé rajzolt kör tartalmazza az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjának mindazon pontjait, amelyekből a \(\displaystyle DE\) szakasz derékszögben látszik, tehát a \(\displaystyle T\) pontot is. Eszerint a \(\displaystyle D\) pontból az \(\displaystyle AB\)-re bocsátott merőleges \(\displaystyle T\) talppontja valóban illeszkedik a \(\displaystyle KEF\) háromszög körülírt körére.

Statistics:

57 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek, Besze Zsolt, Böröczky András Bálint, Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Deme Erik, Fehérvári Donát, Fekete Patrik, Ferenc Ákos, Horváth Milán, Hosszu Noel, Iványi Zsolt, Keszthelyi Eszter, Kiss 625 Dóra, Kovács Benedek Noel, Kurucz Márton, Lőrincz László Lénárd, Lőw László, Molnár Kristóf, Novák Zalán Zoltán, Pekk Márton, Sipos Dorka, Szabó Réka, Szabó Zóra, Tomesz László Gergő, Tóth Gréta, Zádori Petra, Zupkó Bence Kristóf.
4 points:	Barát Benedek, Borsos Balázs, Foris Dávid, Gecseg Bence, Győrffy Nándor, Han Ziying, Nagy 123 Krisztina, Radzik Réka, Rózsa Félix, Schneider Dávid, Simon 456 Dániel, Sipeki Márton, Szakács Domonkos, Szamkó Szabolcs, Vankó Lóránt Albert, Vincze Farkas Csongor, Werner Kinga, Wrana Gergő, Zentai Zoé.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021