Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1667. feladat (2021. április)

C. 1667. Legyen

$$\begin{align*} A & ={(-1)}^1+{(-1)}^2+{(-1)}^3+\ldots+{(-1)}^{2021},\\ B & ={(-2)}^1+{(-2)}^2+{(-2)}^3+\ldots+{(-2)}^{2021} \end{align*}$$

és

\(\displaystyle C={(-3)}^1+{(-3)}^2+{(-3)}^3+\ldots+{(-3)}^{2021}. \)

Határozzuk meg a \(\displaystyle B+C-A\) szám utolsó számjegyét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először határozzuk meg \(\displaystyle A,B,C\) számok 10-es maradékát külön-külön.

Az \(\displaystyle A\) összeg tagjai felváltva \(\displaystyle -1,1\), páratlan sok tag van, \(\displaystyle -1\)-gyel kezdődik, így \(\displaystyle A=-1\) (tehát a 10-es maradéka 9).

A \(\displaystyle B\) összegben bármely négy szomszédos tag összege 10-zel osztható, ugyanis

\(\displaystyle (-2)^{k+1}+(-2)^{k+2}+(-2)^{k+3}+(-2)^{k+4}=(-2)^k(-2+4-8+16)=10\cdot(-2)^k.\)

Az első tagot külön véve, a maradék 2020 tag ilyen négyesekre osztható, ezért a \(\displaystyle B\) szám 10-es maradéka ugyanannyi, mint \(\displaystyle (-2)^1\)-é, vagyis 8.

Ugyanez a módszer \(\displaystyle C\) esetében is működik:

\(\displaystyle (-3)^{k+1}+(-3)^{k+2}+(-3)^{k+3}+(-3)^{k+4}=(-3)^k(-3+9-27+81)=60\cdot(-3)^k\)

alapján bármely négy szomszédos tag összege 10-zel osztható. Az első tagot külön véve, a maradék 2020 tag ilyen négyesekre osztható, ezért a \(\displaystyle C\) szám 10-es maradéka ugyanannyi, mint \(\displaystyle (-3)^1\)-é, vagyis 7.

Az eddigiek alapján a \(\displaystyle B+C-A\) szám 10-es maradéka annyi, mint \(\displaystyle 8+7-(-1)=16\)-é, vagyis 6.

Így ahhoz, hogy \(\displaystyle B+C-A\) utolsó számjegyét megtudjuk, elég az előjelét meghatározni: ha pozitív, akkor 6-ra végződik, ha negatív, akkor 4-re.

\(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) esetében is szigorúan növekedik a tagok abszolút értéke, felváltva pozitívak, illetve negatívak, páratlan sok tag van, az első és az utolsó negatív, így világos, hogy

\(\displaystyle B<(-2)^1=-2,\quad C<(-3)^1=-3,\)

hiszen mind \(\displaystyle B\), mind \(\displaystyle C\) esetében a 2. és 3. tagok, a 4. és 5. tagok, ..., a 2020. és 2021. tagok összege negatív.

Ezért \(\displaystyle B+C-A<-2-3+1=-4<0\), tehát \(\displaystyle B+C-A\) negatív. Így a \(\displaystyle B+C-A\) (negatív) szám utolsó számjegye 4.


Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:64 versenyző.
4 pontot kapott:70 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:9 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:2 dolgozat.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai