 |
A C. 1667. feladat (2021. április) |
C. 1667. Legyen
$$\begin{align*} A & ={(-1)}^1+{(-1)}^2+{(-1)}^3+\ldots+{(-1)}^{2021},\\ B & ={(-2)}^1+{(-2)}^2+{(-2)}^3+\ldots+{(-2)}^{2021} \end{align*}$$és
\(\displaystyle C={(-3)}^1+{(-3)}^2+{(-3)}^3+\ldots+{(-3)}^{2021}. \)
Határozzuk meg a \(\displaystyle B+C-A\) szám utolsó számjegyét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először határozzuk meg \(\displaystyle A,B,C\) számok 10-es maradékát külön-külön.
Az \(\displaystyle A\) összeg tagjai felváltva \(\displaystyle -1,1\), páratlan sok tag van, \(\displaystyle -1\)-gyel kezdődik, így \(\displaystyle A=-1\) (tehát a 10-es maradéka 9).
A \(\displaystyle B\) összegben bármely négy szomszédos tag összege 10-zel osztható, ugyanis
\(\displaystyle (-2)^{k+1}+(-2)^{k+2}+(-2)^{k+3}+(-2)^{k+4}=(-2)^k(-2+4-8+16)=10\cdot(-2)^k.\)
Az első tagot külön véve, a maradék 2020 tag ilyen négyesekre osztható, ezért a \(\displaystyle B\) szám 10-es maradéka ugyanannyi, mint \(\displaystyle (-2)^1\)-é, vagyis 8.
Ugyanez a módszer \(\displaystyle C\) esetében is működik:
\(\displaystyle (-3)^{k+1}+(-3)^{k+2}+(-3)^{k+3}+(-3)^{k+4}=(-3)^k(-3+9-27+81)=60\cdot(-3)^k\)
alapján bármely négy szomszédos tag összege 10-zel osztható. Az első tagot külön véve, a maradék 2020 tag ilyen négyesekre osztható, ezért a \(\displaystyle C\) szám 10-es maradéka ugyanannyi, mint \(\displaystyle (-3)^1\)-é, vagyis 7.
Az eddigiek alapján a \(\displaystyle B+C-A\) szám 10-es maradéka annyi, mint \(\displaystyle 8+7-(-1)=16\)-é, vagyis 6.
Így ahhoz, hogy \(\displaystyle B+C-A\) utolsó számjegyét megtudjuk, elég az előjelét meghatározni: ha pozitív, akkor 6-ra végződik, ha negatív, akkor 4-re.
\(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) esetében is szigorúan növekedik a tagok abszolút értéke, felváltva pozitívak, illetve negatívak, páratlan sok tag van, az első és az utolsó negatív, így világos, hogy
\(\displaystyle B<(-2)^1=-2,\quad C<(-3)^1=-3,\)
hiszen mind \(\displaystyle B\), mind \(\displaystyle C\) esetében a 2. és 3. tagok, a 4. és 5. tagok, ..., a 2020. és 2021. tagok összege negatív.
Ezért \(\displaystyle B+C-A<-2-3+1=-4<0\), tehát \(\displaystyle B+C-A\) negatív. Így a \(\displaystyle B+C-A\) (negatív) szám utolsó számjegye 4.
Statisztika:
166 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 65 versenyző. 4 pontot kapott: 70 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai