Problem C. 1667. (April 2021)
C. 1667. Let
$$\begin{align*} A & ={(-1)}^1+{(-1)}^2+{(-1)}^3+\dots+{(-1)}^{2021},\\ B & ={(-2)}^1+{(-2)}^2+{(-2)}^3+\dots+{(-2)}^{2021} \end{align*}$$and
\(\displaystyle C={(-3)}^1+{(-3)}^2+{(-3)}^3+\dots+{(-3)}^{2021}. \)
Determine the last digit of the number \(\displaystyle B+C-A\).
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először határozzuk meg \(\displaystyle A,B,C\) számok 10-es maradékát külön-külön.
Az \(\displaystyle A\) összeg tagjai felváltva \(\displaystyle -1,1\), páratlan sok tag van, \(\displaystyle -1\)-gyel kezdődik, így \(\displaystyle A=-1\) (tehát a 10-es maradéka 9).
A \(\displaystyle B\) összegben bármely négy szomszédos tag összege 10-zel osztható, ugyanis
\(\displaystyle (-2)^{k+1}+(-2)^{k+2}+(-2)^{k+3}+(-2)^{k+4}=(-2)^k(-2+4-8+16)=10\cdot(-2)^k.\)
Az első tagot külön véve, a maradék 2020 tag ilyen négyesekre osztható, ezért a \(\displaystyle B\) szám 10-es maradéka ugyanannyi, mint \(\displaystyle (-2)^1\)-é, vagyis 8.
Ugyanez a módszer \(\displaystyle C\) esetében is működik:
\(\displaystyle (-3)^{k+1}+(-3)^{k+2}+(-3)^{k+3}+(-3)^{k+4}=(-3)^k(-3+9-27+81)=60\cdot(-3)^k\)
alapján bármely négy szomszédos tag összege 10-zel osztható. Az első tagot külön véve, a maradék 2020 tag ilyen négyesekre osztható, ezért a \(\displaystyle C\) szám 10-es maradéka ugyanannyi, mint \(\displaystyle (-3)^1\)-é, vagyis 7.
Az eddigiek alapján a \(\displaystyle B+C-A\) szám 10-es maradéka annyi, mint \(\displaystyle 8+7-(-1)=16\)-é, vagyis 6.
Így ahhoz, hogy \(\displaystyle B+C-A\) utolsó számjegyét megtudjuk, elég az előjelét meghatározni: ha pozitív, akkor 6-ra végződik, ha negatív, akkor 4-re.
\(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) esetében is szigorúan növekedik a tagok abszolút értéke, felváltva pozitívak, illetve negatívak, páratlan sok tag van, az első és az utolsó negatív, így világos, hogy
\(\displaystyle B<(-2)^1=-2,\quad C<(-3)^1=-3,\)
hiszen mind \(\displaystyle B\), mind \(\displaystyle C\) esetében a 2. és 3. tagok, a 4. és 5. tagok, ..., a 2020. és 2021. tagok összege negatív.
Ezért \(\displaystyle B+C-A<-2-3+1=-4<0\), tehát \(\displaystyle B+C-A\) negatív. Így a \(\displaystyle B+C-A\) (negatív) szám utolsó számjegye 4.
Statistics:
166 students sent a solution. 5 points: 65 students. 4 points: 70 students. 3 points: 10 students. 2 points: 7 students. 1 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 9 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021