Problem C. 1668. (April 2021)

C. 1668. The midpoints of sides \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) of a parallelogram \(\displaystyle ABCD\) are \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\), respectively. The lines \(\displaystyle AF\) and \(\displaystyle AG\) intersect diagonal \(\displaystyle BD\) at points \(\displaystyle K\) and \(\displaystyle L\), respectively. Show that the sum of the areas of triangles \(\displaystyle EFK\) and \(\displaystyle GHL\) equals the area of triangle \(\displaystyle EKL\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételeknek megfelelően készített ábrán az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlóinak metszéspontját \(\displaystyle M\)-mel jelöltük.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AF\) súlyvonal, és mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, ezért \(\displaystyle M\) felezőpontja \(\displaystyle AC\)-nek, tehát az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BM\) is súlyvonal. A súlyvonalak egy pontban metszik egymást, vagyis a \(\displaystyle K\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja.

Hasonlóan látható be, hogy az \(\displaystyle ACD\) háromszögben \(\displaystyle AG\) és \(\displaystyle DM\) súlyvonalak, ezért \(\displaystyle L\) az \(\displaystyle ACD\) háromszög súlypontja. Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ACD\) egybevágó háromszögek, hiszen két-két megfelelő oldaluk a paralelogramma tulajdonságai miatt egyenlő, \(\displaystyle AC\) oldaluk pedig közös. A háromszögek súlypontjai harmadolják a súlyvonalakat, és mivel egybevágó háromszögekben a megfelelő oldalakhoz tartozó súlyvonalak hossza egyenlő, ezért az \(\displaystyle MK=x\) jelöléssel

\(\displaystyle BK=KL=LD=2x,\)

azaz a \(\displaystyle K, L\) pontok a \(\displaystyle BD\) átló harmadolópontjai.

Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ACD\) háromszögek egybevágóságából az is következik, hogy területük egyenlő, így, ha a paralelogramma területét \(\displaystyle T\)-vel jelöljük, akkor

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AF\) súlyvonala felezi a háromszög területét, vagyis (1) felhasználásával

\(\displaystyle T_{ABF}=\frac{T}{4}.\)

Az \(\displaystyle ABF\) háromszögnek az \(\displaystyle FE\) szakasz súlyvonala, tehát \(\displaystyle T_{AEF}=\frac{T}{8}.\)

Mint láttuk, a \(\displaystyle K\) pont harmadolja az \(\displaystyle AF\) szakaszt, ami azt is jelenti, hogy az \(\displaystyle EFK\) háromszög területe az \(\displaystyle AEF\) háromszög területének harmadrésze, hiszen az \(\displaystyle EFK\) és \(\displaystyle EFA\) háromszögeknek az \(\displaystyle E\) csúcshoz tartozó magassága megegyezik, területeik aránya ezért az alapok hosszának arányával egyezik meg, vagyis

\(\displaystyle \frac{T_{EFK}}{T_{EFA}}=\frac{FK}{FA}=\frac{1}{3},\)

amelyből \(\displaystyle T_{EFK}=\frac{T}{24}\) következik.

Hasonlóan egyszerűen látható be, hogy \(\displaystyle T_{GHL}=\frac{T}{24}\) is teljesül, és emiatt

Az \(\displaystyle ABD\) háromszög területe fele az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma területének, és mivel ebben a háromszögben \(\displaystyle DE\) nyilván súlyvonal, ezért

\(\displaystyle T_{BDE}=\frac{T}{4}.\)

Az \(\displaystyle EKL\) és \(\displaystyle EBD\) háromszögeknek az \(\displaystyle E\) ponthoz tartozó magassága ugyanaz, területeik aránya a \(\displaystyle KL\) és \(\displaystyle BD\) alapok hosszának arányával egyezik meg. Mint láttuk, \(\displaystyle KL\) a \(\displaystyle BD\)-nek éppen harmadrésze, ebből pedig azonnal adódik, hogy

(2) és (3) együttesen éppen a feladat állítását bizonyítják.

Megjegyzés. Az \(\displaystyle EFK\) és \(\displaystyle GHL\) háromszögekről egyszerűen megmutatható, hogy egybevágók.

Statistics:

80 students sent a solution.
5 points:	55 students.
4 points:	14 students.
3 points:	3 students.
2 points:	4 students.
1 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021