Problem C. 1669. (April 2021)

C. 1669. Let \(\displaystyle N\) be \(\displaystyle \overline{abc}\) a three-digit number in decimal notation. The value of a number \(\displaystyle M=\overline{abc}\) represented in some non-decimal notation is \(\displaystyle 2N\). Determine the number \(\displaystyle N\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A második esetben a számrendszer alapja legyen \(\displaystyle n\). Ekkor tehát \(\displaystyle N=100a+10b+c\) és \(\displaystyle M=n^2a+nb+c\), valamint a feltétel alapján

\(\displaystyle 2(100a+10b+c)=n^2a+nb+c,\)

\(\displaystyle 0=(n^2-200)a+(n-20)b-c.\)

Ha \(\displaystyle n\leq 14\), akkor az egyenlet nem teljesülhet, mert \(\displaystyle (n^2-200)a<0\) és \(\displaystyle (n-20)b-c\leq 0\). Tehát \(\displaystyle 15\leq n\).

Ha \(\displaystyle n\geq 16\), akkor

\(\displaystyle (n^2-200)a+(n-20)b-c\geq 56a-4b-c\geq 56-4\cdot 9-9=11,\)

tehát az egyenlet nem teljesülhet.

Így csak \(\displaystyle n=15\) lehetséges, ekkor az egyenlet:

\(\displaystyle 0=25a-5b-c,\)

vagyis a

\(\displaystyle 25a=5b+c\)

feltételnek kell teljesülnie. Mivel \(\displaystyle c=25a-5b=5(5a-b)\), ezért \(\displaystyle c\) biztosan osztható 5-tel. A \(\displaystyle c\) szám egy számjegy a 10-es számrendszerben, így \(\displaystyle c=0\) vagy \(\displaystyle c=5\).

Ha \(\displaystyle c=0\), akkor \(\displaystyle 5a=b\), így mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is számjegyek, és \(\displaystyle a\) pozitív (hiszen \(\displaystyle N\) háromjegyű), ezért csak \(\displaystyle a=1,b=5\) lehet. Ekkor \(\displaystyle N=\overline{abc}=150\). (15-ös számrendszerben kiolvasva a számot, az értéke valóban \(\displaystyle 1\cdot 15^2+5\cdot 15=300=2\cdot150\).)

Ha \(\displaystyle c=5\), akkor \(\displaystyle 5a-b=1\)-nek kell teljesülnie. Mivel \(\displaystyle b\) értéke legfeljebb 9, ezért vagy \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle b=4\) vagy \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=9\). Az \(\displaystyle N\) szám értéke tehát \(\displaystyle N=145\) vagy \(\displaystyle N=295\). A számokat 15-ös számrendszerben kiolvasva értékük rendre \(\displaystyle 1\cdot 15^2+4\cdot 15+5=290=2\cdot145\), illetve \(\displaystyle 2\cdot 15^2+9\cdot 15+5=590=2\cdot295\). Így valóban mindkét érték megoldást ad.

Tehát \(\displaystyle N\) értéke 145, 150 vagy 295 lehet.

Statistics:

90 students sent a solution.
5 points:	55 students.
4 points:	16 students.
3 points:	7 students.
2 points:	7 students.
1 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021