Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1670. feladat (2021. április)

C. 1670. Legyenek \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) tetszőleges egész számok, amelyekre \(\displaystyle 3a-2b\) osztható \(\displaystyle 13\)-mal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor \(\displaystyle 4a+19b\) és \(\displaystyle 38a+57b\) is osztható \(\displaystyle 13\)-mal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha \(\displaystyle 13\mid 3a-2b\), akkor \(\displaystyle 13\mid 10(3a-2b)=30a-20b\) is teljesül. Mivel

\(\displaystyle 4a+19b=(30a-20b)-26a+39b=(30a-20b)+13(-2a+3b),\)

ezért ebből az is következik, hogy \(\displaystyle 4a+19b\) osztható 13-mal.

Ehhez hasonlóan, mivel \(\displaystyle 13\mid 3a-2b\), ezért \(\displaystyle 13\mid 4(3a-2b)=12a-8b\). Mivel

\(\displaystyle 38a+57b=(12a-8b)+26a+65b=(12a-8b)+13(2a+5b),\)

ezért ebből az is következik, hogy \(\displaystyle 38a+57b\) osztható 13-mal.

Megjegyzés. A két esetben a 10-es, illetve a 4-es szorzót úgy választottuk meg, hogy szorzás után \(\displaystyle a\) együtthatója ugyanannyi maradékot adjon 13-mal osztva, mint 4, illetve 38. A megadott értékek mellett ez ekkor \(\displaystyle b\) együtthatójára is fennállt.


Statisztika:

A C. 1670. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai