Problem C. 1670. (April 2021)

C. 1670. Given that \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) are integers such that \(\displaystyle 3a-2b\) is divisible by \(\displaystyle 13\), prove that \(\displaystyle 4a+19b\) and \(\displaystyle 38a+57b\) are also divisible by \(\displaystyle 13\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle 13\mid 3a-2b\), akkor \(\displaystyle 13\mid 10(3a-2b)=30a-20b\) is teljesül. Mivel

\(\displaystyle 4a+19b=(30a-20b)-26a+39b=(30a-20b)+13(-2a+3b),\)

ezért ebből az is következik, hogy \(\displaystyle 4a+19b\) osztható 13-mal.

Ehhez hasonlóan, mivel \(\displaystyle 13\mid 3a-2b\), ezért \(\displaystyle 13\mid 4(3a-2b)=12a-8b\). Mivel

\(\displaystyle 38a+57b=(12a-8b)+26a+65b=(12a-8b)+13(2a+5b),\)

ezért ebből az is következik, hogy \(\displaystyle 38a+57b\) osztható 13-mal.

Megjegyzés. A két esetben a 10-es, illetve a 4-es szorzót úgy választottuk meg, hogy szorzás után \(\displaystyle a\) együtthatója ugyanannyi maradékot adjon 13-mal osztva, mint 4, illetve 38. A megadott értékek mellett ez ekkor \(\displaystyle b\) együtthatójára is fennállt.

Statistics:

27 students sent a solution.
5 points:	Andó Lujza, Biró 424 Ádám, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fekete András Albert, Flódung Áron , Fórizs Botond, Horváth 828 Mátyás, Horváth Antal, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Kosóczki Balázs, Molnár Réka, Németh László Csaba, Rátki Gergely, Schneider Anna, Szabó András József , Szalanics Tamás, Szirmai Dénes, Téglás Panna, Varga 601 Zalán, Xu Yiling, Zaránd Andris.
2 points:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021