Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1672. feladat (2021. május)

C. 1672. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) számpárt, amelyre \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}\) is pozitív prímszám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle p>r>0\), különben a tört értéke nem lehetne pozitív. Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) valamelyike 3. Ha \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) is különböző lenne 3-tól, akkor a 3-as maradékuk csak 1 vagy 2 lehetne. Ha a 3-as maradékuk egyenlő, akkor \(\displaystyle 3\mid p-r\), viszont \(\displaystyle 3\nmid p+r\), így a tört nevezője egyszerűsítés után is 3-mal osztható marad, vagyis \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}\) nem lehetne egész. Ha pedig a 3-as maradékuk külöböző lenne (vagyis egyiké 1, másiké 2), akkor \(\displaystyle 3\mid p+r\) és \(\displaystyle 3\nmid p-r\) következne, vagyis a \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}\) tört számlálója egyszerűsítés után is 3-mal osztható lenne. Így ha a tört értéke prímszám, akkor ez csak a 3 lehet:

\(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}=3,\)

amiből

\(\displaystyle p+r=3(p-r),\)

azaz \(\displaystyle 4r=2p\), tehát \(\displaystyle 2r=p\). Ez ellentmond annak, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) prímszámok, tehát valóban nem lehetséges az, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) egyaránt 3-tól különbözőek.

Ha \(\displaystyle p=3\), akkor \(\displaystyle p>r\) alapján csak \(\displaystyle r=2\) lehet, és ekkor \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}=\frac{5}{1}=5\) valóban prímszám.

Végül, ha \(\displaystyle r=3\), akkor

\(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}=\frac{p+3}{p-3}=1+\frac{6}{p-3}.\)

Ez csak akkor lehet egész, ha \(\displaystyle p-3\) a 6 osztója, viszont \(\displaystyle r<p\) alapján \(\displaystyle p\geq5\) (hiszen \(\displaystyle p\) prím) és így \(\displaystyle p-3\geq 2\), tehát \(\displaystyle p-3\) értéke csak 2, 3 vagy 6 lehet. Ekkor \(\displaystyle p\) értéke rendre 5, 6, 9, ezek közül csak az 5 prím. Ha \(\displaystyle p=5\), akkor

\(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}=\frac{8}{2}=4\)

nem prímszám. Így ebben az esetben nem kapunk megoldást.

Tehát egyetlen megfelelő számpár van: \(\displaystyle p=3, r=2\).


Statisztika:

A C. 1672. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai