Problem C. 1672. (May 2021)

C. 1672. Find all number pairs \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) such that \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) and \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}\) are all positive and prime.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle p>r>0\), különben a tört értéke nem lehetne pozitív. Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) valamelyike 3. Ha \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) is különböző lenne 3-tól, akkor a 3-as maradékuk csak 1 vagy 2 lehetne. Ha a 3-as maradékuk egyenlő, akkor \(\displaystyle 3\mid p-r\), viszont \(\displaystyle 3\nmid p+r\), így a tört nevezője egyszerűsítés után is 3-mal osztható marad, vagyis \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}\) nem lehetne egész. Ha pedig a 3-as maradékuk külöböző lenne (vagyis egyiké 1, másiké 2), akkor \(\displaystyle 3\mid p+r\) és \(\displaystyle 3\nmid p-r\) következne, vagyis a \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}\) tört számlálója egyszerűsítés után is 3-mal osztható lenne. Így ha a tört értéke prímszám, akkor ez csak a 3 lehet:

\(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}=3,\)

amiből

\(\displaystyle p+r=3(p-r),\)

azaz \(\displaystyle 4r=2p\), tehát \(\displaystyle 2r=p\). Ez ellentmond annak, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) prímszámok, tehát valóban nem lehetséges az, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) egyaránt 3-tól különbözőek.

Ha \(\displaystyle p=3\), akkor \(\displaystyle p>r\) alapján csak \(\displaystyle r=2\) lehet, és ekkor \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}=\frac{5}{1}=5\) valóban prímszám.

Végül, ha \(\displaystyle r=3\), akkor

\(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}=\frac{p+3}{p-3}=1+\frac{6}{p-3}.\)

Ez csak akkor lehet egész, ha \(\displaystyle p-3\) a 6 osztója, viszont \(\displaystyle r<p\) alapján \(\displaystyle p\geq5\) (hiszen \(\displaystyle p\) prím) és így \(\displaystyle p-3\geq 2\), tehát \(\displaystyle p-3\) értéke csak 2, 3 vagy 6 lehet. Ekkor \(\displaystyle p\) értéke rendre 5, 6, 9, ezek közül csak az 5 prím. Ha \(\displaystyle p=5\), akkor

\(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}=\frac{8}{2}=4\)

nem prímszám. Így ebben az esetben nem kapunk megoldást.

Tehát egyetlen megfelelő számpár van: \(\displaystyle p=3, r=2\).

Statistics:

57 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Barbara, Bencz Benedek, Besze Zsolt, Borsos Balázs, Böröczky András Bálint, Csilling Dániel, Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Fehérvári Donát, Foris Dávid, Geretovszky Márton László, Győrffy Nándor, Halász Henrik, Josepovits Gábor, Kaltenecker Balázs Bence, Keszthelyi Eszter, Kovács Benedek Noel, Kurucz Márton, Laskai Botond, Lőrincz László Lénárd, Molnár Kristóf, Pekk Márton, Radzik Réka, Sarnyai zalán, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Szabó Réka, Szabó Zóra, Tomesz László Gergő, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Vitálos Tünde, Waldhauser Miklós.
4 points:	Deme Erik, Han Ziying, Heltovics Lilla, Horváth Milán, Hosszu Noel, Lőw László, Nagy 123 Krisztina, Novák Zalán Zoltán, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szakács Domonkos, Tran Dávid, Vincze Farkas Csongor, Werner Kinga.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2021