Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1674. feladat (2021. május)

C. 1674. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan derékszögű háromszög van, melyben az oldalak mérőszámai pozitív egészek és az átfogó egy egységgel hosszabb az egyik befogónál.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Olyan derékszögű háromszöget keresünk, melynek \(\displaystyle a,b\) hosszúságú befogóira és \(\displaystyle c\) hosszúságú átfogójára az teljesül, hogy (például) \(\displaystyle c=b+1\), továbbá \(\displaystyle a,b,c\) egészek.

A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint \(\displaystyle a,b,c\) pontosan akkor lesznek egy derékszögű háromszög befogói és átfogója, ha \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Vagyis olyan hármasokat keresünk, melyekre

\(\displaystyle a^2+b^2=(b+1)^2,\)

azaz

\(\displaystyle a^2=2b+1\)

teljesül. Ezért \(\displaystyle a\)-nak páratlannak kell lennie: \(\displaystyle a=2A+1\) alkalmas \(\displaystyle A\) egésszel. Ekkor

\(\displaystyle 4A^2+4A+1=2b+1,\)

és így

\(\displaystyle b=2A^2+2A.\)

Tehát

\(\displaystyle a=2A+1,\quad b=2A^2+2A,\quad c=2A^2+2A+1.\)

Megfordítva, bármely pozitív egész \(\displaystyle A\) esetén ezek az értékek egy derékszögű háromszög oldalai és \(\displaystyle c=b+1\) is teljesül; ezzel igazoltuk a feladat állítását.


Statisztika:

A C. 1674. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai