Problem C. 1674. (May 2021)

C. 1674. Prove that there are infinitely many right-angled triangles in which the measures of the sides are positive integers, and the hypotenuse is one unit longer than one of the legs.

Proposed by L. Németh, Fonyód

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Olyan derékszögű háromszöget keresünk, melynek \(\displaystyle a,b\) hosszúságú befogóira és \(\displaystyle c\) hosszúságú átfogójára az teljesül, hogy (például) \(\displaystyle c=b+1\), továbbá \(\displaystyle a,b,c\) egészek.

A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint \(\displaystyle a,b,c\) pontosan akkor lesznek egy derékszögű háromszög befogói és átfogója, ha \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Vagyis olyan hármasokat keresünk, melyekre

\(\displaystyle a^2+b^2=(b+1)^2,\)

azaz

\(\displaystyle a^2=2b+1\)

teljesül. Ezért \(\displaystyle a\)-nak páratlannak kell lennie: \(\displaystyle a=2A+1\) alkalmas \(\displaystyle A\) egésszel. Ekkor

\(\displaystyle 4A^2+4A+1=2b+1,\)

és így

\(\displaystyle b=2A^2+2A.\)

Tehát

\(\displaystyle a=2A+1,\quad b=2A^2+2A,\quad c=2A^2+2A+1.\)

Megfordítva, bármely pozitív egész \(\displaystyle A\) esetén ezek az értékek egy derékszögű háromszög oldalai és \(\displaystyle c=b+1\) is teljesül; ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Statistics:

94 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Barbara, Andó Lujza, Bencz Benedek, Besze Zsolt, Biró 424 Ádám, Borsos Balázs, Deák Gergely, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fekete András Albert, Ferenc Ákos, Flódung Áron , Győrffy Nándor, Han Ziying, Horváth 530 Mihály, Horváth 828 Mátyás, Horváth Milán, Hűse Máté, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Kádár 1115 Júlia, Kadem Aziz, Kalmár Botond, Kelemen Anna, Keszthelyi Eszter, Kothencz Laura, Kovács Benedek Noel, Kurucz Márton, Lőrincz László Lénárd, Molnár Kristóf, Molnár Réka, Németh László Csaba, Papp Milán, Patricia Janecsko, Sarnyai zalán, Schneider Anna, Sipeki Márton, Stein Felix, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Szittyai Anna, Takács Donát György, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Viczián Dániel, Waldhauser Miklós, Werner Kinga.
4 points:	27 students.
3 points:	7 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2021