 |
A C. 1676. feladat (2021. május) |
C. 1676. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle 2019^{2021}+2021^{2019}\) osztható \(\displaystyle 4040\)-nel. Igaz-e a feladat következő általánosítása: ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egymást követő pozitív páratlan számok, akkor \(\displaystyle a^{b}+b^{a}\) osztható \(\displaystyle a+b\)-vel?
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Szimmetria miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle b=a+2\), ekkor \(\displaystyle a+b=2a+2\). Alakítsuk át a kifejezést:
\(\displaystyle a^b+b^a=a^{a+2}+(a+2)^a=a^a\cdot a^2+(a+2)^a=\)
\(\displaystyle a^a(1+a^2-1)+(a+2)^a=a^a+(a+2)^a+a^a(a^2-1).\)
Ha \(\displaystyle n\geq3\) páratlan szám, akkor \(\displaystyle a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})\), ahol a második tényezőben az ,,összeg" éppen \(\displaystyle n\) tagból áll. Mivel \(\displaystyle a\) páratlan, ezért így \(\displaystyle a\geq3\) esetén
\(\displaystyle a^a+(a+2)^a=(a+(a+2))(a^{a-1}-a^{a-2}(a+2)+...+(a+2)^{a-1}),\)
ahol a második tényező egész szám, így ez a kifejezés osztható \(\displaystyle a+(a+2)=a+b\)-vel. Ha \(\displaystyle a=1\), akkor ugyanez nyilvánvalóan teljesül.
Másrészt \(\displaystyle a^a(a^2-1)=a^a(a-1)(a+1)\), és mivel \(\displaystyle a\) páratlan, ezért \(\displaystyle a-1\) osztható 2-vel, így ez a kifejezés is osztható \(\displaystyle 2(a+1)=2a+2=a+b\)-vel.
Tehát igaz az általános állítás, \(\displaystyle a^b+b^a=a^{a+2}+(a+2)^a=(a^a+(a+2)^a)+a^a(a^2-1)\) osztható \(\displaystyle a+b\)-vel.
2. megoldás. Megmutatjuk, hogy az általános változat is igaz. Legyen tehát \(\displaystyle n\) az a pozitív egész szám, melyre \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) a \(\displaystyle 2n\) szám két szomszédja. Ekkor \(\displaystyle a+b=4n\) és
\(\displaystyle a^b+b^a=(2n-1)^{2n+1}+(2n+1)^{2n-1}.\)
A binomiális tétel alapján
$$\begin{multline*}(2n-1)^{2n+1}=\\ =(2n)^{2n+1}+\binom{2n+1}{1}(2n)^{2n}(-1)+\dots+\binom{2n+1}{2n-1}(2n)^{2}(-1)^{2n-1}+\binom{2n+1}{2n}(2n)(-1)^{2n}+(-1)^{2n+1}. \end{multline*}$$Itt az első \(\displaystyle 2n\) tagban \(\displaystyle 2n\) kitevője legalább 2, így ezen tagok mindegyike osztható \(\displaystyle 4n^2\)-tel, ezért \(\displaystyle 4n\)-nel is. Vagyis \(\displaystyle (2n-1)^{2n+1}\) ugyanannyi maradékot ad \(\displaystyle 4n\)-nel osztva, mint az utolsó két tag összege, vagyis
\(\displaystyle (2n+1)(2n)-1=4n^2+2n-1,\)
aminek a \(\displaystyle 4n\)-es maradék \(\displaystyle 2n-1\).
Ehhez teljesen hasonlóan,
\(\displaystyle (2n+1)^{2n-1} =(2n)^{2n-1}+\binom{2n-1}{1}(2n)^{2n-2}+\dots+\binom{2n-1}{2n-3}(2n)^{2}+\binom{2n-1}{2n-2}(2n)+1. \)
Itt az első \(\displaystyle 2n\) tagban \(\displaystyle 2n\) kitevője legalább 2, így ezen tagok mindegyike osztható \(\displaystyle 4n^2\)-tel, ezért \(\displaystyle 4n\)-nel is. Vagyis \(\displaystyle (2n+1)^{2n-1}\) ugyanannyi maradékot ad \(\displaystyle 4n\)-nel osztva, mint az utolsó két tag összege, vagyis
\(\displaystyle (2n-1)(2n)+1=4n^2-2n+1=4n(n-1)+2n+1,\)
aminek a \(\displaystyle 4n\)-es maradéka \(\displaystyle 2n+1\).
Mivel \(\displaystyle 2n-1+2n+1=4n\), ezért \(\displaystyle (2n-1)^{2n+1}+(2n+1)^{2n-1}\) osztható \(\displaystyle 4n\)-nel. Speciálisan, ha \(\displaystyle n=2020\), akkor \(\displaystyle 2019^{2021}+2021^{2019}\) osztható 4040-nel.
Statisztika:
61 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 60 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai