Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1677. feladat (2021. május)

C. 1677. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

\(\displaystyle \left|2\cdot\log_2\sqrt{x^2-x}+3+\frac{1}{\log_4\sqrt{x^2-x}}\right|=2 \)

egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az egyenlet akkor értelmes, ha \(\displaystyle 0<x^2-x=x(x-1)\) és \(\displaystyle x^2-x\ne 1\) (utóbbi azért szükséges, hogy a nevezőben ne álljon 0), azaz, ha \(\displaystyle x> 0\) vagy \(\displaystyle 1< x\), valamint \(\displaystyle x^2-x\ne 1\) (azaz \(\displaystyle x\ne \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)).

Vezessük be az

\(\displaystyle y:=\log_4\sqrt{x^2-x}\)

jelölést. A logaritmus tulajdonságai alapján

\(\displaystyle \log_4 \sqrt{x^2-x} =\frac{\log_2 \sqrt{x^2-x}}{\log_2 4}=\frac{\log_2 \sqrt{x^2-x}}{2},\)

így

\(\displaystyle \log_2 \sqrt{x^2-x}=2y.\)

Tehát az egyenlet

\(\displaystyle \left|4y+3+\frac1y\right|=2\)

alakban írható \(\displaystyle y\) segítségével. Ez pontosan akkor teljesül, ha az abszolút értékben szereplő kifejezés értéke \(\displaystyle 2\) vagy \(\displaystyle -2\).

Nézzük először azt az esetet, amikor 2:

\(\displaystyle 4y+3+\frac1y=2,\)

\(\displaystyle y\)-nal való szorzás és rendezés után:

\(\displaystyle 4y^2+y+1=0.\)

Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív: \(\displaystyle 1-4\cdot 4=-15\), ami azt jelenti, hogy nincs megoldása. Tehát ez az eset nem fordulhat elő.

Így csak akkor kaphatunk megoldást, ha

\(\displaystyle 4y+3+\frac1y=-2,\)

amiből \(\displaystyle y\)-nal való szorzás és rendezés után:

\(\displaystyle 4y^2+5y+1=0,\)

amit szorzattá alakítva:

\(\displaystyle (4y+1)(y+1)=0.\)

Tehát pontosan akkor kapunk megoldást, ha \(\displaystyle y=-\frac{1}{4}\) vagy \(\displaystyle y=-1\). (Mindkét érték 0-tól különböző, így a lépések ekvivalenciája alapján ezek valóban megoldásokat adnak.)

Vizsgáljuk meg mindkét esetben, milyen \(\displaystyle x\) értékek mellett kapjuk meg az adott \(\displaystyle y\) értéket.

Kezdjük az \(\displaystyle y=-\frac{1}{4}\) esettel. Ekkor tehát a

\(\displaystyle \log_4\sqrt{x^2-x}=-\frac{1}{4}\)

egyenletet kell megoldanunk. A logaritmus definíciója alapján ez pontosan akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \sqrt{x^2-x}=4^{-1/4},\)

amiből négyzetre emelés után:

\(\displaystyle x^2-x= 4^{-1/2},\)

\(\displaystyle x^2-x=\frac{1}{2},\)

rendezve:

\(\displaystyle x^2-x-\frac12=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldásai:

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+4\cdot \frac12}}{2}=\frac{1\pm\sqrt 3}{2}.\)

Az \(\displaystyle y=-1\) esetben pedig a

\(\displaystyle \log_4\sqrt{x^2-x}=-1\)

egyenletet kell megoldanunk. A logaritmus definíciója alapján ez pontosan akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \sqrt{x^2-x}=\frac14,\)

amiből négyzetre emelés után:

\(\displaystyle x^2-x= \frac{1}{16},\)

rendezve:

\(\displaystyle x^2-x-\frac{1}{16}=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldásai:

\(\displaystyle x_{3,4}=\frac{1\pm \sqrt{1+4\cdot \frac{1}{16}}}{2}=\frac{2\pm\sqrt 5}{4}.\)

A kapott értékek közül \(\displaystyle \frac {1-\sqrt3}{2}\) és \(\displaystyle \frac{2-\sqrt5}{4}\) negatívak, \(\displaystyle \frac {1+\sqrt3}{2}\) és \(\displaystyle \frac{2+\sqrt5}{4}\) pedig 1-nél nagyobbak, és mind a négy értékre igaz, hogy \(\displaystyle x^2-x\ne 1\), ezért mind a négy érték megoldást ad.

Tehát az egyenletnek négy megoldása van:

\(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt 3}{2},\quad \frac{2\pm\sqrt 5}{4}.\)


Statisztika:

A C. 1677. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai