Problem C. 1677. (May 2021)

C. 1677. Solve the equation

\(\displaystyle \left|2\cdot\log_2\sqrt{x^2-x}+3+\frac{1}{\log_4\sqrt{x^2-x}}\right|=2 \)

over the set of real numbers.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet akkor értelmes, ha \(\displaystyle 0<x^2-x=x(x-1)\) és \(\displaystyle x^2-x\ne 1\) (utóbbi azért szükséges, hogy a nevezőben ne álljon 0), azaz, ha \(\displaystyle x< 0\) vagy \(\displaystyle 1< x\), valamint \(\displaystyle x^2-x\ne 1\) (azaz \(\displaystyle x\ne \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)).

Vezessük be az

\(\displaystyle y:=\log_4\sqrt{x^2-x}\)

jelölést. A logaritmus tulajdonságai alapján

\(\displaystyle \log_4 \sqrt{x^2-x} =\frac{\log_2 \sqrt{x^2-x}}{\log_2 4}=\frac{\log_2 \sqrt{x^2-x}}{2},\)

így

\(\displaystyle \log_2 \sqrt{x^2-x}=2y.\)

Tehát az egyenlet

\(\displaystyle \left|4y+3+\frac1y\right|=2\)

alakban írható \(\displaystyle y\) segítségével. Ez pontosan akkor teljesül, ha az abszolút értékben szereplő kifejezés értéke \(\displaystyle 2\) vagy \(\displaystyle -2\).

Nézzük először azt az esetet, amikor 2:

\(\displaystyle 4y+3+\frac1y=2,\)

\(\displaystyle y\)-nal való szorzás és rendezés után:

\(\displaystyle 4y^2+y+1=0.\)

Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív: \(\displaystyle 1-4\cdot 4=-15\), ami azt jelenti, hogy nincs megoldása. Tehát ez az eset nem fordulhat elő.

Így csak akkor kaphatunk megoldást, ha

\(\displaystyle 4y+3+\frac1y=-2,\)

amiből \(\displaystyle y\)-nal való szorzás és rendezés után:

\(\displaystyle 4y^2+5y+1=0,\)

amit szorzattá alakítva:

\(\displaystyle (4y+1)(y+1)=0.\)

Tehát pontosan akkor kapunk megoldást, ha \(\displaystyle y=-\frac{1}{4}\) vagy \(\displaystyle y=-1\). (Mindkét érték 0-tól különböző, így a lépések ekvivalenciája alapján ezek valóban megoldásokat adnak.)

Vizsgáljuk meg mindkét esetben, milyen \(\displaystyle x\) értékek mellett kapjuk meg az adott \(\displaystyle y\) értéket.

Kezdjük az \(\displaystyle y=-\frac{1}{4}\) esettel. Ekkor tehát a

\(\displaystyle \log_4\sqrt{x^2-x}=-\frac{1}{4}\)

egyenletet kell megoldanunk. A logaritmus definíciója alapján ez pontosan akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \sqrt{x^2-x}=4^{-1/4},\)

amiből négyzetre emelés után:

\(\displaystyle x^2-x= 4^{-1/2},\)

\(\displaystyle x^2-x=\frac{1}{2},\)

rendezve:

\(\displaystyle x^2-x-\frac12=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldásai:

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+4\cdot \frac12}}{2}=\frac{1\pm\sqrt 3}{2}.\)

Az \(\displaystyle y=-1\) esetben pedig a

\(\displaystyle \log_4\sqrt{x^2-x}=-1\)

egyenletet kell megoldanunk. A logaritmus definíciója alapján ez pontosan akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \sqrt{x^2-x}=\frac14,\)

amiből négyzetre emelés után:

\(\displaystyle x^2-x= \frac{1}{16},\)

rendezve:

\(\displaystyle x^2-x-\frac{1}{16}=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldásai:

\(\displaystyle x_{3,4}=\frac{1\pm \sqrt{1+4\cdot \frac{1}{16}}}{2}=\frac{2\pm\sqrt 5}{4}.\)

A kapott értékek közül \(\displaystyle \frac {1-\sqrt3}{2}\) és \(\displaystyle \frac{2-\sqrt5}{4}\) negatívak, \(\displaystyle \frac {1+\sqrt3}{2}\) és \(\displaystyle \frac{2+\sqrt5}{4}\) pedig 1-nél nagyobbak, és mind a négy értékre igaz, hogy \(\displaystyle x^2-x\ne 1\), ezért mind a négy érték megoldást ad.

Tehát az egyenletnek négy megoldása van:

\(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt 3}{2},\quad \frac{2\pm\sqrt 5}{4}.\)

Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:	Andó Lujza, Biró 424 Ádám, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Flódung Áron , Kadem Aziz, Molnár Réka, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Rátki Gergely, Szalanics Tamás, Xu Yiling.
4 points:	Baksay Réka, Féger Tamás, Fekete András Albert, Horváth 828 Mátyás, Kelemen Anna, Schneider Anna, Szakos Máté Antal, Téglás Panna, Varga 928 Péter, Zaránd Andris.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2021