Problem C. 1679. (September 2021)

C. 1679. Prove that the value of the expression

\(\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022} \)

is between \(\displaystyle 0\) and \(\displaystyle 1\).

(5 pont)

Deadline expired on October 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Legyen \(\displaystyle S:=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\).

Mivel

\(\displaystyle 1-\frac12,\quad \frac13-\frac14, \quad \dots, \frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\)

mind pozitívak, ezért összegük, \(\displaystyle S\) is az.

Hasonlóan, mivel

\(\displaystyle \frac12-\frac13,\quad \frac14-\frac15,\quad \dots, \frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\)

mind pozitívak, ezért összegük, \(\displaystyle 1-S-\frac{1}{2022}\) is az. Ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle S<1-\frac{1}{2022}<1.\)

Tehát \(\displaystyle S\) értéke valóban 0 és 1 közötti.

2. megoldás. A megoldás során az

\(\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{1}{a(a+1)}\)

összefüggést fogjuk többször is alkalmazni.

Először is,

\(\displaystyle S=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{2021\cdot 2022},\)

amiből egyből látható, hogy \(\displaystyle S>0\), hiszen 1011 pozitív tag összegeként állítottuk elő.

Ha \(\displaystyle S\)-hez hozzáadjuk a

\(\displaystyle T:=\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{4\cdot 5}+\dots+\frac{1}{2020\cdot 2021}\)

pozitív összeget, majd a fenti átalakítást visszafelé is elvégezzük, egy teleszkopikus összeget kapunk:

\(\displaystyle S+T=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4} +\dots+\frac{1}{2021\cdot 2022}=\)

\(\displaystyle =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\right)+\left(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)=1-\frac{1}{2022},\)

amiből \(\displaystyle T>0\) alapján

\(\displaystyle S<1-\frac{1}{2022}<1.\)

Tehát \(\displaystyle S\) értéke valóban 0 és 1 közötti.

Statistics:

257 students sent a solution.
5 points:	98 students.
4 points:	36 students.
3 points:	39 students.
2 points:	28 students.
1 point:	19 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021