Problem C. 1679. (September 2021)
C. 1679. Prove that the value of the expression
\(\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022} \)
is between \(\displaystyle 0\) and \(\displaystyle 1\).
(5 pont)
Deadline expired on October 11, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Legyen \(\displaystyle S:=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\).
Mivel
\(\displaystyle 1-\frac12,\quad \frac13-\frac14, \quad \dots, \frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\)
mind pozitívak, ezért összegük, \(\displaystyle S\) is az.
Hasonlóan, mivel
\(\displaystyle \frac12-\frac13,\quad \frac14-\frac15,\quad \dots, \frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\)
mind pozitívak, ezért összegük, \(\displaystyle 1-S-\frac{1}{2022}\) is az. Ez azt jelenti, hogy
\(\displaystyle S<1-\frac{1}{2022}<1.\)
Tehát \(\displaystyle S\) értéke valóban 0 és 1 közötti.
2. megoldás. A megoldás során az
\(\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{1}{a(a+1)}\)
összefüggést fogjuk többször is alkalmazni.
Először is,
\(\displaystyle S=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{2021\cdot 2022},\)
amiből egyből látható, hogy \(\displaystyle S>0\), hiszen 1011 pozitív tag összegeként állítottuk elő.
Ha \(\displaystyle S\)-hez hozzáadjuk a
\(\displaystyle T:=\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{4\cdot 5}+\dots+\frac{1}{2020\cdot 2021}\)
pozitív összeget, majd a fenti átalakítást visszafelé is elvégezzük, egy teleszkopikus összeget kapunk:
\(\displaystyle S+T=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4} +\dots+\frac{1}{2021\cdot 2022}=\)
\(\displaystyle =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\right)+\left(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)=1-\frac{1}{2022},\)
amiből \(\displaystyle T>0\) alapján
\(\displaystyle S<1-\frac{1}{2022}<1.\)
Tehát \(\displaystyle S\) értéke valóban 0 és 1 közötti.
Statistics:
257 students sent a solution. 5 points: 98 students. 4 points: 36 students. 3 points: 39 students. 2 points: 28 students. 1 point: 19 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 4 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021