Problem C. 1680. (September 2021)

C. 1680. One side of a quadrilateral is 5 cm long, and the measures of the angles lying on it are \(\displaystyle 90^{\circ}\) and \(\displaystyle 60^{\circ}\). Given that the quadrilateral has both an inscribed circle and a circumscribed circle, find a method to construct the quadrilateral. Write down the steps of the construction. (Elementary steps of construction, like bisecting an angle or reflecting about a line do not need to be described in detail.)

Proposed by N. Zagyva, Baja

(5 pont)

Deadline expired on October 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nem sérti az általánosságot, ha feltesszük, hogy a feladatbeli \(\displaystyle ABCD\) négyszögben \(\displaystyle AB=5\,cm\). Tegyük fel továbbá, hogy az \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) csúcsnál fekvő belső szögek nagysága \(\displaystyle 90^{\circ}\) illetve \(\displaystyle 60^{\circ}\) (a szerkesztés lépései és azok indoklásai változatlanok maradnak, ha az \(\displaystyle A\) csúcsnál fekvő belső szög nagysága \(\displaystyle 60^{\circ}\), és a \(\displaystyle B\) csúcsnál levő belső szög a derékszög).

Mivel a négyszög húrnégyszög, ezért a \(\displaystyle C\) csúcsnál levő belső szög derékszög, illetve a \(\displaystyle D\) csúcsnál levő belső szögre \(\displaystyle CDA\sphericalangle=120^{\circ}\).

Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög érintőnégyszög is, ezért a négyszögbe az oldalakat érintő kör írható, amelynek középpontja a belső szögfelezők metszéspontja.

Jelölje a beírt kör középpontját \(\displaystyle O\), a beírt körnek az \(\displaystyle AB, BC, CD, DA\) oldalra illeszkedő érintési pontjait pedig rendre \(\displaystyle E, F, G, H\). A négyszög megszerkesztésének lépéseit a következő ábra segítségével végezzük el.

Először az \(\displaystyle AB\) szakaszra az \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) csúcsban megszerkesztjük a \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os, illetve \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szögeket, ezzel megszerkesztettük a négyszög \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalegyeneseit.

A szögek nagyságára vonatkozó feltétel miatt a szögfelező egyenesek biztosan metszik egymást, vagyis a szögfelezők megszerkesztésével megkapjuk a beírt kör \(\displaystyle O\) középpontját. A feltételek mellett tehát az \(\displaystyle ABO\) háromszög mindig létrejön.

Az \(\displaystyle ABO\) háromszögben az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsnál fekvő belső szögek \(\displaystyle 45^{\circ}\) és \(\displaystyle 30^{\circ}\). Mivel ezek hegyesszögek, és \(\displaystyle AOB\sphericalangle=105^{\circ}\) tompaszög, ezért, ha az \(\displaystyle O\) pontból az \(\displaystyle AB\) szakaszra merőlegest szerkesztünk, akkor a merőleges talppontja az \(\displaystyle AB\) szakasz belső pontja lesz, ez a pont a beírt kör és az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle E\) érintési pontja.

Az \(\displaystyle O\) pontból a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AD\) oldalegyenesekre szerkesztett merőlegesek talppontjai megadják a négyszög beírt körének az oldalakkal való \(\displaystyle F\), illetve \(\displaystyle H\) érintési pontjait.

A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok megszerkesztéséhez a \(\displaystyle BF\) félegyenes \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle F\) pontjától különböző \(\displaystyle P\) pontjában merőlegest állítunk a félegyenesre. Az így létrejött \(\displaystyle p\) egyenes a \(\displaystyle BCD\sphericalangle=90^{\circ}\) miatt nyilván párhuzamos a szerkesztendő \(\displaystyle CD\) egyenessel.

Ha tehát az \(\displaystyle O\) pontból megszerkesztjük a \(\displaystyle p\)-re merőleges \(\displaystyle OT\) félegyenest, akkor ez merőleges lesz a \(\displaystyle CD\) egyenesre, és az \(\displaystyle OT\) félegyenes, valamint a négyszög \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OE\) sugarú beírt körének közös közös pontja \(\displaystyle G\).

Ezután a \(\displaystyle G\) pontban az \(\displaystyle OT\) félegyenesre merőlegest állítva kapjuk a beírt kört a \(\displaystyle G\) pontban érintő egyenest, amely a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AD\) egyenesekből kimetszi a \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle D\) pontokat.

A szerkesztés leírása szerint a feltételek figyelembe vételével az \(\displaystyle ABCD\) négyszög mindig megszerkeszthető és mindig egy megoldást kapunk.

Statistics:

238 students sent a solution.
5 points:	68 students.
4 points:	28 students.
3 points:	32 students.
2 points:	33 students.
1 point:	38 students.
0 point:	14 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021