Problem C. 1681. (September 2021)
C. 1681. Let \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) denote nonzero real numbers that add up to \(\displaystyle 0\). Prove that
\(\displaystyle \frac{a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2}{ab}=3c+2. \)
(5 pont)
Deadline expired on October 11, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Mivel a számok 0-tól különbözők, így az eredetivel ekvivalens az \(\displaystyle ab\)-vel való szorzás után kapott
\(\displaystyle a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2=3abc+2ab\)
egyenlet. Mindkét oldalhoz \(\displaystyle (a^2+b^2-c^2-3abc)\)-t adva:
\(\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=a^2+2ab+b^2-c^2,\)
a jobb oldalon teljes négyzetté alakítva:
\(\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^2-c^2,\)
majd mindkét oldalt szorzattá alakítva az eredetivel ekvivalens
\(\displaystyle (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)(a+b-c)\)
egyenletet kapjuk. Mivel \(\displaystyle a+b+c=0\), ezért mindkét oldalon 0 áll, így az egyenlet teljesül.
Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
2. megoldás. Kicsivel több számolással úgy is célt érhetünk, ha az
\(\displaystyle a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2=3abc+2ab\)
egyenletben a megadott \(\displaystyle a+b+c=0\) feltételt használva \(\displaystyle c=-a-b\)-t helyettesítünk, és felbontjuk a zárójeleket.
A jobb oldalra következőt kapjuk:
\(\displaystyle 3abc+2ab=3ab(-a-b)+2ab=-3a^2b-3ab^2+2ab.\)
A bal oldalra a következőt kapjuk:
$$\begin{multline*} a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2=a^3-a^2+b^3-b^2+(-a-b)^3+(-a-b)^2=\\ =a^3-a^2+b^3-b^2-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3+a^2+2ab+b^2=-3a^2b-3ab^2+2ab. \end{multline*}$$Mivel a két oldalra ugyanazt kaptuk, ezért az egyenlet teljesül, így az eredeti egyenlet teljesülését is igazoltuk.
Statistics:
225 students sent a solution. 5 points: 159 students. 4 points: 6 students. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 7 students. 0 point: 12 students. Unfair, not evaluated: 19 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021