Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1682. feladat (2021. szeptember)

C. 1682. Egy egységnyi élhosszúságú kocka csúcsai \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) az ábra szerint. Az \(\displaystyle ABDE\) és \(\displaystyle GCFH\) tetraédereket levágjuk a kockából. Mekkora az így kapott test felszíne és térfogata?

Javasolta: Zagyva Tiborné (Baja)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle ABDE\) tetraéder páronként egymásra merőleges éleinek hossza \(\displaystyle AB=AD=AE=1\), a tetraéder többi élének hossza \(\displaystyle BD=DE=EB=\sqrt{2}\). Hasonlóképpen a \(\displaystyle GCFH\) tetraéder páronként merőleges élei \(\displaystyle GC=GF=GH=1\), illetve további élei \(\displaystyle HF=FC=CH=\sqrt{2}\). Tekintsük a következő ábrát.

Az egységnyi élű \(\displaystyle ABCDEFGH\) kocka térfogata \(\displaystyle 1\) térfogategység, felszíne \(\displaystyle 6\) darab egységnyi oldalú négyzet területével egyezik meg, tehát \(\displaystyle 6\) területegység. Az \(\displaystyle ABDE\) tetraéder térfogata:

\(\displaystyle V_{ABDE}=\frac{1}{3}\cdot{\frac{AB\cdot{AD}}{2}\cdot{AE}},\)

azaz

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle V_{ABDE}=\frac{1}{6}.\)

Nyilván ugyanennyi az \(\displaystyle GCFH\) tetraéder térfogata is, hiszen egybevágó az \(\displaystyle ABDE\) tetraéderrel. Ha ezt a két tetraédert levágjuk a kockából, akkor a \(\displaystyle BCDFHE\) ferde hasábot kapjuk, amelynek térfogata (1) alapján

\(\displaystyle V_{BCDFHE}=1-2\cdot{\frac{1}{6}}=\frac{2}{3}\)

térfogategység.

A két tetraéder levágásakor a kocka felszínéből eltávolítunk összesen a kocka három oldallapjának megfelelő területet, azaz \(\displaystyle 3\) területegységet. Ugyanakkor a keletkezett test felszínéhez "hozzáadjuk" a \(\displaystyle \sqrt{2}\) oldalhosszúságú \(\displaystyle BDE\) és \(\displaystyle HFC\) szabályos háromszögek területét. Utóbbi háromszögek területe összesen:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle 2\cdot{\frac{\sqrt{2}^2\cdot{\sqrt{3}}}{4}}=\sqrt{3}.\)

Egyszerű számolással kapjuk (2) felhasználásával, hogy a tetraéderek levágása után megmaradt test felszíne:

\(\displaystyle A_{BCDFHE}=6-3+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}\)

területegység.


Statisztika:

A C. 1682. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai