Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1683. (September 2021)

C. 1683. Ann and Bo are playing the following game on squared sheets of paper. Each player marks a \(\displaystyle 10\times10\) square on her own sheet of squared paper. In this large square, they colour seven \(\displaystyle 1\times1\) lattice squares blue, and another 14 lattice squares red. The players cannot see each other's coloured squares. The game starts by Ann naming a pair of numbers \(\displaystyle (i,j)\) where \(\displaystyle 1 \le i,j \le 10\) are positive integers. (For example, \(\displaystyle (5,2)\) means the lattice square at the intersection of row 5 and column 2 of the \(\displaystyle 10\times10\) square.) If the pair \(\displaystyle (i,j)\) determines a coloured field on Bo's sheet of paper then Bo will answer ``hit'', otherwise she will say ``no hit''. Then the game continues by switching roles: Bo names a pair of numbers and Ann answers. What is the probability that in the third round of the game Ann will hit a blue square and Bo will hit a red square provided that in the first two rounds neither Ann nor Bo had any hits?

(5 pont)

Deadline expired on October 11, 2021.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során feltételezzük, hogy Anna és Boglárka sem mond olyan négyzetet, amit már korábban is mondott.

Az, hogy Anna a harmadik fordulóban kék négyzetet talál el, és az, hogy Boglárka pirosat, egymástól független események. Így az együttes bekövetkezés valószínűségét úgy határozhatjuk meg, hogy külön-külön kiszámoljuk a valószínűségeket, majd ezeket összeszorozzuk.

Anna a második tippje után még 98 négyzetre nem tippelt, ezek között 7 kék van, így annak valószínűsége, hogy harmadikra kék négyzetet talál el \(\displaystyle \frac{7}{98}=\frac{1}{14}\).

Ehhez hasonlóan, Boglárka a második tippje után még 98 négyzetre nem tippelt, ezek között 14 piros van, így annak valószínűsége, hogy harmadikra piros négyzetet talál el \(\displaystyle \frac{14}{98}=\frac{1}{7}\).

A kérdéses valószínűség tehát \(\displaystyle \frac{1}{14}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{98}\).


Statistics:

86 students sent a solution.
5 points:Aggod Ádám, Besze Zsolt, Cynolter Dorottya, Egyházi Hanna, Hajós Balázs, Halász Henrik, Horváth 328 Áron, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, László Levente, Mészáros Anna Veronika, Murai Dóra Eszter, Szabó 219 Petra, Szalanics Tamás, Szegedi Botond Zoltán, Üveges Ádám, Viczián Dániel.
4 points:Albert Ákos, Ander Leon, Deák Gergely, Fekete Patrik, Flódung Áron , Gurabi Kristóf, Horváth Milán, Jakusch Tamás, Jósvai Dominik, Kiss 625 Dóra, Nagy Daniella, Nemes 468 Kornél, Pájer Albert, Petneházi Péter, Pulics Martin, Radzik Réka, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Szabó Zóra, Szamkó Szabolcs, Szécsi Szabolcs Ádám, Szittyai Anna, Tóth Gréta, Török Dalma, Váczy Dorottya, Vankó Lóránt Albert, Waldhauser Miklós, Xu Yiling.
3 points:16 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:7 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021