Problem C. 1684. (October 2021)

C. 1684. Prove that there exists no pentagon in which all sides are equal in length and two angles are \(\displaystyle 60^{\circ}\).

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Indirekt módon bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy létezik olyan ötszög, amelynek oldalai egyenlő hosszúak és van két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöge.

Jelöljük az ötszög csúcsait pozitív körüljárási irány szerint haladva az \(\displaystyle A, B, C, D, E\) betűkkel, az oldalak hosszúságát \(\displaystyle a\)-val.

A két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szög csúcsai kétféleképpen helyezkedhetnek el: vagy van az ötszögnek olyan oldala, amelynek végpontjai a két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szög csúcsai, vagy nincs ilyen oldala az ötszögnek.

Az első esetben feltehető, hogy a kérdéses oldal az \(\displaystyle AB=a\) szakasz. Ekkor az \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) csúcsokból induló két ötszögoldal másik végpontja \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle C\), és nyilvánvaló, hogy ez a két pont különböző. Ilyen feltételek mellett az \(\displaystyle ABE\) és az \(\displaystyle ABC\) háromszögek szabályos háromszögek, hiszen az \(\displaystyle AB=a\) oldalon mindkét háromszögben két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os fekszik, így a két háromszög harmadik szögei is \(\displaystyle 60^{\circ}\)-osak.

Ez azonban azt jelenti, hogy az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle C\) pontok azonosak, így ez az eset nyilván nem lehetséges (1. ábra).

1. ábra

Ha nincs az ötszög oldalai között olyan, amelynek mindkét végpontja a két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szög csúcsaival azonos, akkor az általánosság sérelme nélkül feltehetjük, hogy a két szög csúcsai \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\).

Az ötszög oldalai egyenlő hosszúak, \(\displaystyle AB=AE=a\), továbbá \(\displaystyle EAB\sphericalangle=60^{\circ}\), emiatt a \(\displaystyle EAB\) háromszög szabályos, hiszen a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle E\) csúcsoknál fekvő szögei egyenlők, mindkettő \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os. Ezért \(\displaystyle BE=a\) is igaz.

Mivel \(\displaystyle BC=CD=a\) és \(\displaystyle BCD\sphericalangle=60^{\circ}\), ezért az előzőekhez hasonlóan kapjuk, hogy a \(\displaystyle BCD\) háromszög is szabályos, és így \(\displaystyle BD=a\). Eszerint a \(\displaystyle BDE\) háromszögben \(\displaystyle BD=BE=a\), de az ötszög oldalainak egyenlősége miatt \(\displaystyle DE=a\) is fennáll, ez pedig azt jelenti, hogy a \(\displaystyle BDE\) háromszög is szabályos, tehát \(\displaystyle EBD\sphericalangle=60^{\circ}\).

Ekkor azonban az \(\displaystyle ABCDE\) ötszögben a \(\displaystyle B\) csúcsnál levő szögek összege:

\(\displaystyle ABE\sphericalangle+EBD\sphericalangle+DBC\sphericalangle=3\cdot{60^{\circ}}=180^{\circ}\).

Ez egyenértékű azzal, hogy az ötszög \(\displaystyle A, B, C\) csúcsai egy egyenesen vannak (2. ábra).

2. ábra

A 2. ábra sokszögében a feladatnak az oldalak egyenlő hosszúságára és a két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szögre vonatkozó feltétele is teljesül, ezért az \(\displaystyle EAB, BCD, BDE\) háromszögek szabályosak, így a fentiek szerint az \(\displaystyle A, B, C\) pontok egy egyenesen vannak. Azonban ebben az esetben az egymáshoz csatlakozó \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle BC\) szakaszokat egyetlen \(\displaystyle AC\) oldalnak kell tekintenünk, és a csatlakozási pontot, vagyis a \(\displaystyle B\)-t nem számítjuk a sokszög csúcsai közé, ezért nem ötszögről, hanem négyszögről van szó.

Ezzel beláttuk, hogy a feladat minden feltételét kielégítő ötszög valóban nem létezik.

Megjegyzés. Ha az ötszögről csak azt tesszük fel, hogy négy oldala egyenlő hosszú és van két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöge, akkor ilyen ötszög létezik.

Ebben a sokszögben \(\displaystyle AB=BC=CD=DA=a\) és \(\displaystyle EAB\sphericalangle=BCD\sphericalangle=60^{\circ}\), ezért az \(\displaystyle EAB\) és \(\displaystyle BCD\) háromszögek szabályosak, de az \(\displaystyle A, B, C\) csúcsok nincsenek egy egyenesen. Ekkor viszont a \(\displaystyle BDE\) háromszögben csak \(\displaystyle BD=BE=a\) igaz, de \(\displaystyle EBD\sphericalangle<60^{\circ}\) miatt \(\displaystyle DE<a\) (vagy \(\displaystyle EBD\sphericalangle>60^{\circ}\) miatt \(\displaystyle DE>a\)), ezért a \(\displaystyle BDE\) háromszög nem szabályos, azaz \(\displaystyle DE\neq{a}\).

Statistics:

237 students sent a solution.
5 points:	143 students.
4 points:	17 students.
3 points:	21 students.
2 points:	10 students.
1 point:	4 students.
0 point:	17 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2021