Problem C. 1687. (October 2021)
C. 1687. I found three shopping lists in a shopping bag. The first list included 23 buns, 13 apples and 15 eggs, the second list had 9 buns, 3 apples and 28 eggs, and the third one had 25 buns, 18 apples and 11 eggs. The amount paid for these items on list one was 2021 forints (HUF, Hungarian currency), and the items on lists two and three cost 2031 and 2041 forints, but I cannot remember which sum belongs to which list. Each of the three kinds of products costs a whole number of forints a piece. What is the piece price of each item?
Proposed by M. E. Gáspár, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on November 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Jelölje a zsömle, az alma és a tojás árát rendre \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\). A következő három egyenlet írható fel:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 23a+13b+15c=2021,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 9a+3b+28c=2031\textrm{ vagy }2041,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 25a+18b+11c=2041\textrm{ vagy }2031.\) |
A 3) egyenletből az 1)-et kivonva:
\(\displaystyle 2a+5b-4c=20\textrm{ vagy }10,\)
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle 5b=4c-2a+(20\textrm{ vagy }10).\) |
Az 1) egyenletből kivonva a 2) egyenletet, majd behelyettesítve az előbb \(\displaystyle 5b\)-re kapott kifejezést:
\(\displaystyle 14a+10b-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)
\(\displaystyle 14a+2(4c-2a+(20\textrm{ vagy }10))-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)
\(\displaystyle 14a+8c-4a+(40\textrm{ vagy }20)-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)
\(\displaystyle 10a-5c+(50\textrm{ vagy }40)=0,\)
\(\displaystyle 2a-c+(10\textrm{ vagy }8)=0,\)
\(\displaystyle c=2a+(10\textrm{ vagy }8).\)
Ezt behelyettesítve a 4) egyenletbe:
\(\displaystyle 5b=4(2a+(10\textrm{ vagy }8))-2a+(20\textrm{ vagy }10)=\)
\(\displaystyle =8a+(40\textrm{ vagy }32)-2a+(20\textrm{ vagy }10)=6a+(60\textrm{ vagy }42),\)
\(\displaystyle b=1,2a+(12\textrm{ vagy }8,4).\)
Végül a \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle c\)-re kapott kifejezéseket az 1) egyenletbe visszaírva:
\(\displaystyle 23a+13(1,2a+(12\textrm{ vagy }8,4))+15(2a+(10\textrm{ vagy }8)=2021,\)
\(\displaystyle 68,6a+(306\textrm{ vagy }229,2)=2021,\)
\(\displaystyle 68,6a=1715\textrm{ vagy }1791,8.\)
Az első esetben \(\displaystyle a=\frac{1715}{68,6}=25\), a második esetben nem egész értéket kapunk. Ha \(\displaystyle a=25\), akkor \(\displaystyle c=2a+10=60\) és \(\displaystyle b=1,2a+12=42\).
Tehát a zsömle 25 Ft, az alma 42 Ft, a tojás pedig 60 Ft volt.
2. megoldás. A zsömle, az alma, illetve a tojás árát jelölje rendre \(\displaystyle z\), \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle t\). A megadott feltételek alapján
\(\displaystyle 23z+13a+15t=2021\)
és
\(\displaystyle 9z+3a+28t=2031\text{ vagy } 2041,\)
\(\displaystyle 25z+18a+11t=2041\text{ vagy }2031.\)
A harmadik egyenlethez a második egyenlet 2-szeresét és az első egyenlet 3-szorosát adva a következő egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle 112z+63a+112t=12166\text{ vagy }12176.\)
Mivel \(\displaystyle z,a,t\) egész számok, ezért
\(\displaystyle 112z+63a+112t=7(16z+9a+16t)\)
biztosan 7-tel osztható, azonban 12166 és 12176 közül csak a \(\displaystyle 12166=7\cdot 1738\) osztható 7-tel. Ez az eset annak felel meg, amikor a második listán lévő árucikkekért fizettünk 2031 forintot és a harmadikon lévőkért 2041 forintot. Tehát az egyenletrendszer, amit meg kell oldanunk:
\(\displaystyle 23z+13a+15t=2021\)
\(\displaystyle 9z+3a+28t=2031\)
\(\displaystyle 25z+18a+11t=2041\)
Vonjuk ki a második egyenlet 23-szorosából az első egyenlet 9-szeresét:
| \(\displaystyle -48a+509t=28524.\) | \(\displaystyle {(*)}\) |
Ehhez hasonlóan, vonjuk ki a harmadik egyenlet 23-szorosából az első egyenlet 25-szörösét:
| \(\displaystyle 89a-122t=-3582\) | \(\displaystyle {(**)}\) |
Most pedig \(\displaystyle (*)\) 89-szorosát és \(\displaystyle (**)\) 48-szorosát adjuk össze:
\(\displaystyle 39445t=2366700,\)
amiből a tojás ára
\(\displaystyle t=60.\)
Ezt (például) \(\displaystyle (*)\)-ba visszahelyettesítve kapjuk, hogy az alma ára
\(\displaystyle a=\frac{122t-3582}{89}=\frac{122\cdot 60-3582}{89}=42.\)
Végül, (például) az eredeti első egyenletből a zsömle ára
\(\displaystyle z=\frac{2021-13a-15t}{23}=25.\)
Az eredeti egyenletekbe behelyettesítve látható, hogy \(\displaystyle z=25,a=42,t=60\) mellett mindhárom egyenlet valóban teljesül.
Tehát a zsömle ára 25 forint, az almáé 42 forint, a tojásé pedig 60 forint.
Megjegyzés. A 7-es oszthatóság vizsgálata helyett a feladat természetesen úgy is megoldható, hogy az egyenletrendszert mindkét esetben megoldjuk. A másik esetben a
\(\displaystyle z=\frac{8959}{343},\quad a=\frac{13632}{343},\quad t=\frac{20662}{343}\)
megoldás adódik, ami nem lehetséges, hiszen ezek az értékek nem egészek.
Statistics:
74 students sent a solution. 5 points: 55 students. 4 points: 3 students. 3 points: 9 students. 2 points: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2021