Problem C. 1688. (October 2021)

C. 1688. The single mode of a set of data is \(\displaystyle 2\), the median is \(\displaystyle 3\), the mean is \(\displaystyle 4\), and the range is \(\displaystyle 5\). How many elements may the data set have?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az elemek számát jelölje \(\displaystyle n\).

Ha az egyetlen módusz a 2, akkor legalább két 2-esnek szerepelnie kell (hiszen ha egyetlen elem lenne, akkor a medián és az átlag nem lehetne különböző). Az átlag 4, így mivel 4-nél kisebb elem is van, ezért 4-nél nagyobbnak is lennie kell. A medián 3, így ha páratlan sok elem van, akkor a középső elem a 3, ha páros sok, akkor a két középső átlaga a 3.

A mediánra vonatkozó feltétel alapján érdemes a páros és páratlan esetet külön vizsgálni. Tegyük fel először, hogy az elemek száma páratlan. Ekkor az elemek között szerepel két 2-es és a középső elem 3-as, így biztosan legalább 5 elem van. Ha épp 5 eleme van, akkor a három legkisebb elem: \(\displaystyle 2,2,3\). A terjedelem 5, így a legnagyobb elem a 7. Az átlag akkor lesz 4, ha a második legnagyobb elem a 6. Ekkor tehát az adathalmaz: \(\displaystyle 2,2,3,6,7\), ekkor minden feltétel teljesül, vagyis \(\displaystyle n=5\) lehetséges.

Vegyük észre, hogy az összes feltétel érvényes marad, ha a halmazhoz ugyanannyi 2-est és 6-ost adunk. Tehát bármely \(\displaystyle 5\leq n=2N+1\) esetén van megfelelő adathalmaz:

\(\displaystyle \underbrace{2,2,\dots,2}_{N},3,\underbrace{6,6,\dots,6}_{N-1},7.\)

Most térjünk rá az \(\displaystyle n\) páros esetre. Tudjuk, hogy van legalább három elem, így \(\displaystyle n\geq 4\). Ha \(\displaystyle n=4\), akkor a két legkisebb elem 2-es, a medián úgy lehet 3, ha a harmadik elem 4-es, a terjedelem pedig úgy lesz 5, ha a legnagyobb elem 7-es. Ekkor viszont az átlag nem 4, hanem csak \(\displaystyle 3,75\), tehát \(\displaystyle n=4\) nem lehet. Nézzük az \(\displaystyle n=6\) esetet. Mivel van két 2-es a halmazban, a medián úgy lehet 3, ha a két középső elem két 3-as, vagy két különböző szám, melyek átlaga 3. Ha két 3-as lenne, akkor csak két 2-es lehet, így nem a 2 lenne az egyedüli módusz. Olyan konstrukciót fogunk keresni (és találni), ahol az elemek egészek. Legyen tehát a négy legkisebb elem: \(\displaystyle 2,2,2,4\), így a legnagyobb - a terjedelem miatt - a 7, és hogy az átlag 4 legyen, a hiányzó elem szintén 7. Tehát a halmaz: \(\displaystyle 2,2,2,4,7,7\). Tehát \(\displaystyle n=6\) lehetséges. A 6-nál nagyobb páros \(\displaystyle n\)-ekre megfelelő halmazt kapunk, ha ugyanannyi 2-est és 6-ost adunk hozzá ehhez a halmazhoz. Tehát \(\displaystyle n=2N\) esetén:

\(\displaystyle \underbrace{2,2,\dots,2}_{N},4,\underbrace{6,6,\dots,6}_{N-3},7,7.\)

Tehát \(\displaystyle n\) bármely 6-nál nagyobb páros szám is lehet.

Tehát az adathalmaz elemeinek száma tetszőleges 4-nél nagyobb egész szám lehet.

Statistics:

65 students sent a solution.
5 points:	Albert Ákos, Besze Zsolt, Biborka Dániel, Cseresznye Zalán, Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Fekete Patrik, Gurabi Kristóf, Hajós Balázs, Halász Henrik, Herczeg György, Hosszu Noel, Jakusch Tamás, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Kiss 625 Dóra, Kiss Gábor Botond, Kurucz Márton, Lajtos Bence Levente, Mázsi Áron, Murai Dóra Eszter, Nagy Daniella, Nemes 468 Kornél, Németh Máté Előd, Pekk Márton, Petneházi Péter, Poluczik Csongor, Pulics Martin, Radzik Réka, Rumpler Bianka, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Szamkó Szabolcs, Szegedi Ágoston, Szirtes Hanna, Tóth Gréta, Török Dalma, Vankó Lóránt Albert, Vass Boldizsár, Waldhauser Miklós, Werner Kinga, Xu Yiling.
4 points:	Horváth Milán, Pájer Vilmos.
3 points:	4 students.
2 points:	6 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2021