Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1689. feladat (2021. november)

C. 1689. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) egész számok:

$$\begin{align*} a + d & = 9,\\ ad + b & = 8,\\ bd + c & = 74,\\ cd & = 18. \end{align*}$$

Javasolta: Berkó Erzsébet (Szolnok)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az utolsó egyenlet alapján \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) azonos előjelűek, hiszen szorzatuk pozitív. Ha mindkettő negatív, akkor a harmadik egyenlet alapján \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}\) is negatív, ekkor viszont a második egyenletből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}\) szintén negatív. Két negatív szám összege, \(\displaystyle a+d\) is negatív, ami ellentmond az első egyenletnek.

Az előzőekből az következik, hogy \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) is a \(\displaystyle 18\) pozitív osztója, ám nem lehet mindkettő \(\displaystyle 3\)–mal osztható, hiszen akkor a \(\displaystyle bd+c\) is az lenne, így nem lehetne egyenlő \(\displaystyle 74\)–gyel. Vagyis nem lehet – valamilyen sorrendben – \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) a 3 és a 6.

Tehát négy esetet kell megvizsgálnunk. 1. eset. Ha \(\displaystyle c=1\), akkor \(\displaystyle d=18\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=\frac{73}{18}\), amely nem egész, így nem kapunk megoldást.

2. eset. Ha \(\displaystyle c=2\), akkor \(\displaystyle d=9\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=8\) és \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}=0\). Ekkor \(\displaystyle a+d=0+9=9\), tehát egy megfelelő számnégyest kapunk.

3. eset. Ha \(\displaystyle c=9\), akkor \(\displaystyle d=2\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=\frac{65}{2}\), amely nem egész, így nem kapunk megoldást.

4. eset. Ha \(\displaystyle c=18\), akkor \(\displaystyle d=1\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=56\) és \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}=-48\). Ekkor \(\displaystyle a+d=-48+1=-47 \neq 9\), így ebben az esetben sem kapunk megoldást.

Több eset nincs, így az egyenletrendszer egyetlen megoldása:

\(\displaystyle a=0,\)

\(\displaystyle b=8,\)

\(\displaystyle c=2,\)

\(\displaystyle d=9.\)

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy ez a számnégyes valóban megfelelő.


Statisztika:

A C. 1689. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai