Problem C. 1689. (November 2021)
C. 1689. Solve the following simultaneous equations for integers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\):
$$\begin{align*} a + d & = 9,\\ ad + b & = 8,\\ bd + c & = 74,\\ cd & = 18. \end{align*}$$Proposed by E. Berkó, Szolnok
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az utolsó egyenlet alapján \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) azonos előjelűek, hiszen szorzatuk pozitív. Ha mindkettő negatív, akkor a harmadik egyenlet alapján \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}\) is negatív, ekkor viszont a második egyenletből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}\) szintén negatív. Két negatív szám összege, \(\displaystyle a+d\) is negatív, ami ellentmond az első egyenletnek.
Az előzőekből az következik, hogy \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) is a \(\displaystyle 18\) pozitív osztója, ám nem lehet mindkettő \(\displaystyle 3\)–mal osztható, hiszen akkor a \(\displaystyle bd+c\) is az lenne, így nem lehetne egyenlő \(\displaystyle 74\)–gyel. Vagyis nem lehet – valamilyen sorrendben – \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) a 3 és a 6.
Tehát négy esetet kell megvizsgálnunk. 1. eset. Ha \(\displaystyle c=1\), akkor \(\displaystyle d=18\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=\frac{73}{18}\), amely nem egész, így nem kapunk megoldást.
2. eset. Ha \(\displaystyle c=2\), akkor \(\displaystyle d=9\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=8\) és \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}=0\). Ekkor \(\displaystyle a+d=0+9=9\), tehát egy megfelelő számnégyest kapunk.
3. eset. Ha \(\displaystyle c=9\), akkor \(\displaystyle d=2\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=\frac{65}{2}\), amely nem egész, így nem kapunk megoldást.
4. eset. Ha \(\displaystyle c=18\), akkor \(\displaystyle d=1\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=56\) és \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}=-48\). Ekkor \(\displaystyle a+d=-48+1=-47 \neq 9\), így ebben az esetben sem kapunk megoldást.
Több eset nincs, így az egyenletrendszer egyetlen megoldása:
\(\displaystyle a=0,\)
\(\displaystyle b=8,\)
\(\displaystyle c=2,\)
\(\displaystyle d=9.\)
Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy ez a számnégyes valóban megfelelő.
Statistics:
241 students sent a solution. 5 points: 170 students. 4 points: 7 students. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 35 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 4 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021