Problem C. 1691. (November 2021)

C. 1691. What are the positive prime numbers \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) for which \(\displaystyle p^{5}-q^{3}+{(p+q)}^{4}=9900\)?

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételek alapján nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle -q^{3}+(p+q)^{4}>0\), vagyis \(\displaystyle p^5\)-hez egy pozitív számot adva kapunk \(\displaystyle 9900\)-at. Ennek alapján a \(\displaystyle p\) pozitív prímszámra egy becslést fogunk adni.

Mivel \(\displaystyle 7^5=16807\), és \(\displaystyle 5^5=3125\), ezért biztos, hogy \(\displaystyle p<7\), így a továbbiakban a \(\displaystyle p=5, 3, 2\) lehetőségeket kell vizsgálnunk.

Ha \(\displaystyle p=5\), akkor behelyettesítve, a műveleteket elvégezve és rendezve:

\(\displaystyle 3125-q^3+(5+q)^4=3125-q^3+5^4+4\cdot5^3q+6\cdot5^2q^2+4\cdot5 q^3+q^4=q^4+19q^3+150q^2+500q+3750=9900,\)

\(\displaystyle q^4+19q^3+150q^2+500q=6150.\)

Ez utóbbi szerint \(\displaystyle q\) a \(\displaystyle 6150\) prímosztója. A \(\displaystyle 6150=2\cdot3\cdot5^2\cdot41\) prímtényezős felbontás alapján csak \(\displaystyle q=2,3,5,41\) lenne lehetséges. Ezeket az értékeket az előző egyenletbe írva nem kapunk megoldást, mert \(\displaystyle q=2,3,5\) esetén a bal oldal értéke rendre \(\displaystyle 1768, 3444, 9250\), a \(\displaystyle q=41\) behelyettesítése pedig nyilván felesleges, hiszen \(\displaystyle 41^4>10^4>6150\). Ezért \(\displaystyle p=5\) esetén az egyenletnek nincs megoldása.

Ha \(\displaystyle p=3\), akkor behelyettesítve, majd rendezve:

\(\displaystyle 243-q^3+(3+q)^4=243-q^3+3^4+4\cdot3^3q+6\cdot3^2q^2+4\cdot3 q^3+q^4=q^4+11q^3+54q^2+108q+324=9900,\)

\(\displaystyle q^4+11q^3+54q^2+108q=9576.\)

Mivel a bal oldal prímosztója \(\displaystyle q\), ezért \(\displaystyle q\) prímosztója a \(\displaystyle 9576=2^3\cdot3^2\cdot7\cdot19\) számnak. Eszerint a \(\displaystyle q=2, 3, 7, 19\) eseteket kell vizsgálni. A \(\displaystyle q=2\) esetén a bal oldal értéke \(\displaystyle 536\), míg \(\displaystyle q=3\)-ra a bal oldal \(\displaystyle 1188\), ezek tehát nem megfelelők. A \(\displaystyle q=7\) behelyettesítése után azt kapjuk, hogy az egyenlet mindkét oldalának értéke \(\displaystyle 9576\), ezért a \(\displaystyle p=3; q=7\) számpár megoldása a feladatnak. A \(\displaystyle q=19\) értékre \(\displaystyle 19^4>10^4>9576\), ez nyilván nem megfelelő.

Végül, ha \(\displaystyle p=2\), akkor a

\(\displaystyle 32-q^3+(2+q)^4=32-q^3+2^4+4\cdot2^3q+6\cdot2^2q^2+4\cdot2 q^3+q^4=q^4+7q^3+24q^2+32q+48=9900,\)

\(\displaystyle q^4+7q^3+24q^2+32q=9852\)

egyenletet kapjuk. Eszerint \(\displaystyle q\) a bal oldal prímosztója, ezért a \(\displaystyle 9852=2^2\cdot3\cdot821\) számnak is prímosztója, vagyis csak \(\displaystyle q=2,3,821\) fordulhatna elő. Azonban a \(\displaystyle q=2\), illetve \(\displaystyle q=3\) prímszámokra a bal oldal értéke \(\displaystyle 232\), illetve \(\displaystyle 582\), ezek tehát nem megoldások. A nyilvánvaló \(\displaystyle 821^4>9852\) egyenlőtlenség alapján pedig \(\displaystyle q=821\) sem lehetséges.

Minden esetet megvizsgáltunk, azt kaptuk, hogy a feladatnak egyetlen megoldása van, ez a \(\displaystyle p=3; q=7\) pozitív prímekből álló számpár.

Statistics:

145 students sent a solution.
5 points:	69 students.
4 points:	19 students.
3 points:	23 students.
2 points:	6 students.
1 point:	6 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021