Problem C. 1693. (November 2021)

C. 1693. Four vertices of a cube are selected at random. Every selection of four vertices is equally probable. What is the probability that the four vertices form a tetrahedron? What is the probability that the four vertices form a regular tetrahedron?

Proposed by N. Zagyva, Baja

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kockának nyolc csúcsa van, a tetraédernek négy. A négy pontnak \(\displaystyle \binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 70\) – féle kiválasztása lehetséges.

Ha a négy pont egy síkban van, akkor a pontok nem határoznak meg tetraédert. Ilyen négyest alkot a kocka \(\displaystyle 6\) lapjának 4-4 csúcsa és a \(\displaystyle 6\) átlósík 4-4 csúcsa, azaz 12 ilyen pontnégyes van. Így \(\displaystyle 70-12=58\), a feltételnek megfelelő tetraédert kaphatunk. A keresett valószínűség: \(\displaystyle p=\frac{58}{70} = \frac{29}{35}\approx 0,83\).

A kocka két szemközti lapjára illeszkedő, kitérő lapátlók végpontjai határoznak meg szabályos tetraédert. Egy lappárhoz két ilyen tetraéder tartozik, amelyeknek a többi éle is a kocka másik négy lapjának páronként kitérő lapátlója, ezért két megfelelő tetraéder lehetséges. A keresett valószínűség \(\displaystyle p=\frac{2}{70} = \frac{1}{35}\).

Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:	Besze Zsolt, Biborka Dániel, Keszthelyi Eszter, Murai Dóra Eszter, Nagy Daniella, Sipeki Márton, Szabó Zóra, Werner Kinga.
4 points:	Baksai Bálint, Bilicki Vilmos, Csorba Mihály, Deák Gergely, Fekete Patrik, Hajós Balázs, Horváth 328 Áron, Hosszu Noel, Szabó Réka, Szalanics Tamás, Szilágyi Kornél Csaba, Szittyai Anna, Tóth Gréta, Török Dalma, Váczy Dorottya, Vankó Lóránt Albert, Waldhauser Miklós, Xu Yiling.
3 points:	14 students.
2 points:	8 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021