Problem C. 1694. (December 2021)

C. 1694. Solve the following equation over the set of real numbers:

Proposed by L. Sáfár, Ráckeve

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle x-2021-\frac{x-2020}{2}\) kifejezést a kijelölt műveletek elvégzésével átalakítjuk: \(\displaystyle x-2021-\frac{x-2020}{2}= \frac{2x-4042-(x-2020)}{2}=\frac{x-2022}{2}\). Az egyenlet bal oldalán összesen \(\displaystyle 1011\) hasonló kifejezés összege áll. Általánosan ezek a következő alakban írhatók fel (\(\displaystyle k=2n-1\) alakú, ahol \(\displaystyle 1 \leq n \leq 1011\) pozitív egész szám):

\(\displaystyle \frac{x-k}{2022-k}- \frac{x-(k-1)}{2022-(k-1)}= \frac{(x-k)(2023-k) - (x-k+1)(2022-k)}{(2022-k)(2023-k)}=\)

\(\displaystyle =\frac{2023x-kx-2023k+k^2-2022x+2022k-2022+kx-k^2+k}{(2022-k)(2023-k)}=\)

\(\displaystyle =\frac{x-2022}{(2022-k)(2023-k)}.\)

Az egyenlet bal oldalán \(\displaystyle 1011\) olyan tört áll, amelynek számlálója \(\displaystyle x-2022\), ezt kiemelve az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk:

\(\displaystyle (x-2022)\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+ \ldots +\frac{1}{2021 \cdot 2022}\right)=0.\)

A bal oldali szorzat második tényezője pozitív, így csak az \(\displaystyle x-2022=0\) egyenlet megoldása az egyenlet egyetlen gyöke.
A megoldás \(\displaystyle x=2022\).

Statistics:

153 students sent a solution.
5 points:	97 students.
4 points:	29 students.
3 points:	4 students.
2 points:	6 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2021