Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1696. feladat (2021. december)

C. 1696. Adottak az \(\displaystyle a\) és a \(\displaystyle b\) párhuzamos egyenesek, melyeken kijelölünk rendre \(\displaystyle 10\), illetve \(\displaystyle 15\) darab pontot. Tekintsük az összes olyan szakaszt, melynek egyik végpontja az \(\displaystyle a\), másik pedig a \(\displaystyle b\) egyenes kijelölt pontjai közül való. Legfeljebb hány metszéspontja lehet összesen ezeknek a szakaszoknak?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A keletkező metszéspontokat a következőképpen számoljuk össze. Kiválasztunk az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egyenesen kijelölt pontok közül két-két különbözőt, és te­kintjük az általuk meghatározott konvex négyszög átlóinak metszéspontját. Ez a metszéspont éppen megfelel a feladat feltételeinek, és a feladatban szereplő pontok mindegyike megkapható ezzel a módszerrel. Legfeljebb annyi ilyen pont van, ahány négyszöget alkothatunk úgy, hogy \(\displaystyle 2\) csúcsot az \(\displaystyle a\), kettőt pedig a \(\displaystyle b\) egyenesen kijelölt pontok közül választunk, a kiválasztás során a pontok sorrendje nem számít. Az \(\displaystyle a\) egyenesen kijelölt \(\displaystyle 10\) pontból \(\displaystyle \binom{10}{2}=45\)–féleképpen választhatjuk ki a \(\displaystyle 2\) pontot, a \(\displaystyle b\) egyenesen lévő \(\displaystyle 15\) pontból pedig \(\displaystyle \binom{15}{2}=105\)–féleképpen, ezért a létrejövő négyszögek száma \(\displaystyle 45 \cdot 105=4725\).

A szóbanforgó szakaszoknak legfeljebb \(\displaystyle 4725\) metszéspontja lehet.

Megjegyzés. Ez meg is valósulhat, ha egymás után vesszük fel a pontokat az egyeneseken és figyelünk arra, hogy ne essen egybe semelyik két metszéspont.


Statisztika:

A C. 1696. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai