Problem C. 1696. (December 2021)
C. 1696. There are \(\displaystyle 10\) and \(\displaystyle 15\) points marked on two parallel lines \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\), respectively. Consider all line segments formed by the points marked such that one endpoint lies on \(\displaystyle a\), and the other lies on \(\displaystyle b\). How many intersections may these line segments have altogether at most?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A keletkező metszéspontokat a következőképpen számoljuk össze. Kiválasztunk az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egyenesen kijelölt pontok közül két-két különbözőt, és tekintjük az általuk meghatározott konvex négyszög átlóinak metszéspontját. Ez a metszéspont éppen megfelel a feladat feltételeinek, és a feladatban szereplő pontok mindegyike megkapható ezzel a módszerrel. Legfeljebb annyi ilyen pont van, ahány négyszöget alkothatunk úgy, hogy \(\displaystyle 2\) csúcsot az \(\displaystyle a\), kettőt pedig a \(\displaystyle b\) egyenesen kijelölt pontok közül választunk, a kiválasztás során a pontok sorrendje nem számít. Az \(\displaystyle a\) egyenesen kijelölt \(\displaystyle 10\) pontból \(\displaystyle \binom{10}{2}=45\)–féleképpen választhatjuk ki a \(\displaystyle 2\) pontot, a \(\displaystyle b\) egyenesen lévő \(\displaystyle 15\) pontból pedig \(\displaystyle \binom{15}{2}=105\)–féleképpen, ezért a létrejövő négyszögek száma \(\displaystyle 45 \cdot 105=4725\).
A szóbanforgó szakaszoknak legfeljebb \(\displaystyle 4725\) metszéspontja lehet.
Megjegyzés. Ez meg is valósulhat, ha egymás után vesszük fel a pontokat az egyeneseken és figyelünk arra, hogy ne essen egybe semelyik két metszéspont.
Statistics:
134 students sent a solution. 5 points: 69 students. 4 points: 17 students. 3 points: 9 students. 2 points: 11 students. 1 point: 8 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2021