Problem C. 1699. (January 2022)

C. 1699. In the expansion of the product \(\displaystyle (x+1)\cdot(x^2+1)\cdot(x^3+1)\cdot \ldots \cdot(x^{12}+1)\), what is the coefficient of the term in \(\displaystyle x^{14}\)?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hatványozás azonosságait figyelembe véve, a feladat ekvivalens azzal a feladattal, hogy a \(\displaystyle 14\)-et hányféleképpen állíthatjuk elő \(\displaystyle 12\)-nél nem nagyobb, különböző pozitív egész számok összegeként, hiszen amikor összeszorozzuk az \(\displaystyle x\) hatványait, akkor a kitevők összeadódnak. Célszerű az eseteket szisztematikusan felsorolni, például az összegben szereplő legnagyobb tag alapján, a tagokat csökkenő sorrendben felírva:
Ha a \(\displaystyle 12\) a legnagyobb tag, akkor csak egy lehetőség van: \(\displaystyle 14=12+2\).
Ha a \(\displaystyle 11\) a legnagyobb tag, akkor két lehetőség van: \(\displaystyle 14=11+3=11+2+1\).
Tovább csökkentve a legnagyobb tagot, a következőket kapjuk:
\(\displaystyle 14=10+4=10+3+1\),
\(\displaystyle 14=9+5=9+4+1=9+3+2\),
\(\displaystyle 14=8+6=8+5+1=8+4+2=8+3+2+1\),
\(\displaystyle 14=7+6+1=7+5+2=7+4+3=7+4+2+1\),
\(\displaystyle 14=6+5+3=6+5+2+1=6+4+3+1\),
\(\displaystyle 14=5+4+3+2\).
Több lehetőség nincs, hiszen ha a legnagyobb tag \(\displaystyle 5\)-nél kisebb, akkor az összeg nem nagyobb, mint \(\displaystyle 10\). A felsorolt lehetőségek száma \(\displaystyle 20\), így a kérdéses szorzatban szereplő műveleteket elvégezve, összevonás után az \(\displaystyle x^{14}\) hatvány együtthatója \(\displaystyle 20\).

Statistics:

129 students sent a solution.
5 points:	76 students.
4 points:	21 students.
3 points:	3 students.
2 points:	4 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022