Problem C. 1701. (January 2022)

C. 1701. What is the sum of all integers \(\displaystyle x\) for which

\(\displaystyle \sqrt{2x^2-6x-20}<-x+5? \)

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először meghatározzuk a négyzetgyökös kifejezés értelmezési tartományát. Mivel a valós számok halmazán nemnegatív számoknak értelmezzük a négyzetgyökét, ezért \(\displaystyle 2x^2-6x-20 \geq 0\). A zérushelyeket akár a megoldóképlettel, akár szorzattá alakítással is megkereshetjük: \(\displaystyle 2x^2-6x-20=2(x^2-3x-10)=2(x+2)(x-5)\), vagyis \(\displaystyle x_1=-2\) és \(\displaystyle x_2=5\), így a kifejezés \(\displaystyle x \leq -2\) vagy \(\displaystyle x \geq 5\) esetén nemnegatív.
Az eredeti egyenlőtlenség jobb oldala biztosan pozitív, hiszen nagyobb, mint egy nemnegatív kifejezés, így \(\displaystyle -x+5 > 0\), azaz \(\displaystyle x<5\). Az előzőekben meghatározott két halmaz metszete: \(\displaystyle x \leq -2\), a továbbiakban elegendő ezen a halmazon megoldani az egyenlőtlenséget.

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelhetjük, hiszen a fenti intervallumban nemnegatívak:

\(\displaystyle 2x^2-6x-20<x^2-10x+25,\)

amelyet nullára redukálva az

\(\displaystyle x^2+4x-45=(x+9)(x-5)<0\)

egyenlőtlenséghez jutunk. A zérushelyek: \(\displaystyle x_1=5\) és \(\displaystyle x_2=-9\), így a kifejezés
\(\displaystyle -9 <x<5\) esetén negatív. Ezt az \(\displaystyle x \leq -2\)-vel összevetve, az egyenlőtlenség minden \(\displaystyle -9<x \leq -2\) valós \(\displaystyle x\)-re teljesül. Ebben az intervallumban \(\displaystyle 7\) egész szám van, amelyek összege: \(\displaystyle -8+(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)=-35\).

Statistics:

189 students sent a solution.
5 points:	58 students.
4 points:	39 students.
3 points:	21 students.
2 points:	16 students.
1 point:	16 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	14 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022