Problem C. 1701. (January 2022)
C. 1701. What is the sum of all integers \(\displaystyle x\) for which
\(\displaystyle \sqrt{2x^2-6x-20}<-x+5? \)
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először meghatározzuk a négyzetgyökös kifejezés értelmezési tartományát. Mivel a valós számok halmazán nemnegatív számoknak értelmezzük a négyzetgyökét, ezért \(\displaystyle 2x^2-6x-20 \geq 0\). A zérushelyeket akár a megoldóképlettel, akár szorzattá alakítással is megkereshetjük: \(\displaystyle 2x^2-6x-20=2(x^2-3x-10)=2(x+2)(x-5)\), vagyis \(\displaystyle x_1=-2\) és \(\displaystyle x_2=5\), így a kifejezés \(\displaystyle x \leq -2\) vagy \(\displaystyle x \geq 5\) esetén nemnegatív.
Az eredeti egyenlőtlenség jobb oldala biztosan pozitív, hiszen nagyobb, mint egy nemnegatív kifejezés, így \(\displaystyle -x+5 > 0\), azaz \(\displaystyle x<5\). Az előzőekben meghatározott két halmaz metszete: \(\displaystyle x \leq -2\), a továbbiakban elegendő ezen a halmazon megoldani az egyenlőtlenséget.
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelhetjük, hiszen a fenti intervallumban nemnegatívak:
\(\displaystyle 2x^2-6x-20<x^2-10x+25,\)
amelyet nullára redukálva az
\(\displaystyle x^2+4x-45=(x+9)(x-5)<0\)
egyenlőtlenséghez jutunk. A zérushelyek: \(\displaystyle x_1=5\) és \(\displaystyle x_2=-9\), így a kifejezés
\(\displaystyle -9 <x<5\) esetén negatív. Ezt az \(\displaystyle x \leq -2\)-vel összevetve, az egyenlőtlenség minden \(\displaystyle -9<x \leq -2\) valós \(\displaystyle x\)-re teljesül. Ebben az intervallumban \(\displaystyle 7\) egész szám van, amelyek összege: \(\displaystyle -8+(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)=-35\).
Statistics:
189 students sent a solution. 5 points: 58 students. 4 points: 39 students. 3 points: 21 students. 2 points: 16 students. 1 point: 16 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 14 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022