Problem C. 1704. (February 2022)

C. 1704. For which real numbers \(\displaystyle a\) will the minimum of the function

\(\displaystyle f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 \)

defined on the segment \(\displaystyle [0;2]\) be equal to 3?

(MC&IC)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Teljes négyzetté alakítás után

\(\displaystyle f(x)=(2x-a)^2-2a+2.\)

Láthatjuk, hogy az \(\displaystyle f(x)\) függvény a valós számok halmazán az \(\displaystyle x=\frac{a}{2}\) helyen veszi fel a legkisebb értéket, ezért \(\displaystyle \frac{a}{2}\) értéke alapján három esetet kell megvizsgálnunk.

1. eset. Ha \(\displaystyle \frac{a}{2}\in [0;2]\), azaz \(\displaystyle a\in [0;4]\), akkor

\(\displaystyle f\Big(\frac{a}{2}\Big)=4\cdot \Big( \frac{a}{2}\Big)^2-4a \cdot \frac{a}{2}+a^2-2a+2=3,\)

ebből \(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\), ami nem felel meg a fenti feltételnek.

2. eset. Ha \(\displaystyle \frac{a}{2} <0\), azaz \(\displaystyle a<0\), akkor az \(\displaystyle f(x)\) függvény szigorúan monoton növekvő a \(\displaystyle [0;2]\) intervallumon, tehát a minimuma \(\displaystyle x=0\)-nál van. Az \(\displaystyle f(0)=a^2-2a+2=3\), azaz az \(\displaystyle a^2-2a-1=0\) másodfokú egyenlet gyökei \(\displaystyle a_{1,2}=1 \pm \sqrt{2}\). Mivel \(\displaystyle a<0\), ezért ebben az esetben az \(\displaystyle a=1-\sqrt{2}\) megoldást kapjuk.

3. eset. Ha \(\displaystyle \frac{a}{2} >2\), azaz \(\displaystyle a>4\), akkor az \(\displaystyle f(x)\) függvény szigorúan monoton csökkenő a \(\displaystyle [0;2]\) intervallumon, tehát a minimuma \(\displaystyle x=2\)-nél van. Ekkor az \(\displaystyle f(2)=4 \cdot 2^2 -8a+ a^2-2a+2=3\), vagyis az \(\displaystyle a^2-10a+15=0\) másodfokú egyenlet gyökei \(\displaystyle a_{1,2}=5 \pm \sqrt{10}\). Mivel \(\displaystyle a>4\), ezért ebben az esetben az \(\displaystyle a=5+\sqrt{10}\) megoldást kapjuk.
A feladatnak két megoldása van, \(\displaystyle a_1=1-\sqrt{2}\) és \(\displaystyle a_2=5+\sqrt{10}\).

Statistics:

116 students sent a solution.
5 points:	52 students.
4 points:	17 students.
3 points:	9 students.
2 points:	12 students.
1 point:	8 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022