Problem C. 1706. (February 2022)

C. 1706. Prove that in every set of 2022 positive integers there exist two numbers such that their difference or sum is divisible by 4040.

Proposed by L. Sáfár, Ráckeve

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk skatulyákat a \(\displaystyle 4040\)-nel való osztási maradékok alapján a következőképpen: \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle \pm1\), \(\displaystyle \pm2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle \pm2019\), \(\displaystyle \pm 2020\), ez \(\displaystyle 2021\) darab skatulya. Ha a \(\displaystyle 2022\) darab egész szám mindegyikét berakjuk a \(\displaystyle 4040\)-nel való osztási maradékának megfelelő skatulyába, akkor a skatulyaelv alapján lesz legalább egy skatulya, amely legalább két darab számot tartalmaz. Tekintsünk ebből tetszőleges két számot. Ha mindkettő ugyanannyi maradékot ad \(\displaystyle 4040\)-nel osztva, akkor különbségük osztható \(\displaystyle 4040\)-nel. Ha az egyik szám \(\displaystyle k\), a másik pedig \(\displaystyle -k\) maradékú, akkor pedig az összegük osztható \(\displaystyle 4040\)-nel, így a feladat állítását beláttuk.

Statistics:

114 students sent a solution.
5 points:	93 students.
4 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022