Problem C. 1708. (February 2022)

C. 1708. Solve the following equation over the set of real number pairs:

\(\displaystyle \log_2^2(x+y)+\log_2^2(xy)+1=2\log_2(x+y). \)

(MC&IC)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A logaritmus definíciója miatt \(\displaystyle x+y>0\) és \(\displaystyle xy>0\), amiből \(\displaystyle x>0\) és \(\displaystyle y>0\) következik. Rendezéssel:

\(\displaystyle \log_2^2(x+y)-2\log_2(x+y)+1+\log_2^2(xy)=0.\)

A bal oldali első három tag összegét teljes négyzetté alakítjuk:

\(\displaystyle (\log_2(x+y)-1)^2+\log_2^2(xy)=0.\)

Két valós szám négyzetének összege akkor és csak akkor egyenlő \(\displaystyle 0\)-val, ha mindkét valós szám \(\displaystyle 0\), azaz

\(\displaystyle \log_2(x+y)-1=0\)

és

\(\displaystyle \log_2(xy)=0.\)

A logaritmus definícióját alkalmazva a következő egyenletrendszert kapjuk:

\(\displaystyle x+y=2,\)

\(\displaystyle xy=1.\)

Ezt például a behelyettesítő módszerrel oldhatjuk meg:

\(\displaystyle y=2-x,\)

\(\displaystyle x(2-x)=1,\)

\(\displaystyle x^2-2x+1=0.\)

Így az \(\displaystyle x=y=1\) megoldást kapjuk, amely megfelel a feltételeknek. A feladat egyetlen megoldása az \(\displaystyle (1;1)\) számpár.

Statistics:

39 students sent a solution.
5 points:	Bilicki Vilmos, Cynolter Dorottya, Egyházi Hanna, Fekete Patrik, Halász Henrik, Horváth Milán, Josepovits Gábor, Keresztes Alex Zsolt, Keszthelyi Eszter, Kis Dorka 004, Kurucz Márton, Magyar Gábor Balázs, Mészáros Anna Veronika, Nagy Daniella, Pekk Márton, Petneházi Péter, Radzik Réka, Rumpler Bianka, Sipeki Márton, Szabó Zóra, Szamkó Szabolcs, Tóth Gréta, Velkey János, Werner Kinga, Xu Yiling, Yusuf A Khand.
4 points:	Ágoston Igor Milán, Besze Zsolt, Deák Gergely, Schneider Dávid, Szabó Réka.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022