Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1711. feladat (2022. március)

C. 1711. Oldjuk meg az

\(\displaystyle \sqrt{x-1801}+\sqrt{y-1860}=2-\frac{1}{\sqrt{x-1801}} \)

egyenletet, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valós számok.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A négyzetgyök definíciója miatt \(\displaystyle y-1860 \geq 0\), amelyből \(\displaystyle y \geq 1860\). A \(\displaystyle \sqrt{x-1801}\) tört nevezőjében szerepel, így nem lehet egyenlő nullával, másrészt nemnegatív, ezért \(\displaystyle \sqrt{x-1801}>0\), amelyből \(\displaystyle x>1801\) következik.

Rendezve:

\(\displaystyle {\sqrt{x-1801}+\frac{1}{\sqrt{x-1801}}=2-\sqrt{y-1860}}.\)

Megvizsgáljuk a kapott egyenlet két oldalának értékkészletét. A bal oldalon egy pozitív számnak és reciprokának összege áll, amely tudvalevőleg legalább \(\displaystyle 2\). A jobb oldalon lévő kifejezés értéke pedig legfeljebb \(\displaystyle 2\), hiszen egy nemnegatív kifejezést vonunk ki \(\displaystyle 2\)-ből. Az előzőekből az következik, hogy az egyenlet két oldala csak akkor lehet egyenlő egymással, ha mindkét oldal értéke \(\displaystyle 2\), ezért a következő egyenletrendszert kell megoldanunk:

\(\displaystyle {\sqrt{x-1801}+\frac{1}{\sqrt{x-1801}}}=2,\)

\(\displaystyle 2-\sqrt{y-1860}=2.\)

Az első pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sqrt{x-1801}=\frac{1}{\sqrt{x-1801}}=1\), vagyis

\(\displaystyle x=1802;\)

a második pedig akkor, ha

\(\displaystyle y=1860.\)

A megoldás tehát: \(\displaystyle x=1802\) és \(\displaystyle y=1860\).


Statisztika:

A C. 1711. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai