Problem C. 1714. (April 2022)

C. 1714. The integers 1 to 22 are written on a blackboard. In each move, a pair of numbers is selected, erased and replaced with the absolute value of their difference. Prove that the last number added to the board is odd.

(German problem)

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kezdetben a táblán a következő páratlan számok vannak:
\(\displaystyle 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21\), összesen \(\displaystyle 11\) darab. Vizsgáljuk meg, mi történhet a páratlan számok számával egy lépésben.
1. eset Ha két páratlan számot törlünk le, akkor páros szám kerül a helyükre, hiszen különbségük páros. Így a táblán lévő páratlan számok száma \(\displaystyle 2\)-vel csökken, azaz paritása nem változik.
2. eset Egy páros és egy páratlan szám különbsége páratlan, így két különböző paritású szám letörlése esetén egy páratlan szám kerül fel helyettük a táblára, azaz ugyanannyi páratlan szám lesz a táblán, mint a lépés előtt.
3. eset Két páros szám helyett páros szám kerül a táblára, így a páratlan számok száma ilyen esetben sem változik.

Láthatjuk, hogy mivel kezdetben \(\displaystyle 11\) páratlan szám volt a táblán, ezért minden lépés után páratlan darab páratlan szám lesz a táblán, így amikor csupán egy szám marad a táblán, az szükségképpen páratlan lesz. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Statistics:

106 students sent a solution.
5 points:	89 students.
4 points:	1 student.
3 points:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022