Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1715. feladat (2022. április)

C. 1715. A \(\displaystyle k\) kör belsejébe rajzoltunk egy 8 cm sugarú \(\displaystyle k_1\) kört. Mindkét kört metszi az ábrán látható módon egy 15 cm sugarú \(\displaystyle k_2\) kör. Mekkora \(\displaystyle k\) sugara, ha a \(\displaystyle k\) belsejében, de \(\displaystyle k_1\)-en kívül levő satírozott síkidom területe megegyezik a \(\displaystyle k_2\) belsejében levő satírozott síkidomok területének összegével?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük a következő ábrát, amelyen a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök közös részének területét \(\displaystyle T_1\)-gyel, a \(\displaystyle k_2\) kör \(\displaystyle k\) körön kívüli részének területét \(\displaystyle T_2\)-vel, a \(\displaystyle k\) körnek a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körökkel nem közös részének területét \(\displaystyle T_3\)-mal jelöltük, végül \(\displaystyle T\)-vel annak a résznek a területét, amely a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k_2\) körök közös része, de nem tartozik a \(\displaystyle k_1\) körhöz.

A feltétel szerint

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle T_1+T_2=T_3.\)

Felírhatjuk, hogy \(\displaystyle T+T_1+T_2=15^2\pi\), továbbá a \(\displaystyle k\) kör sugarát \(\displaystyle R\)-rel jelölve \(\displaystyle R^2\pi-8^2\pi-T=T_3\). A két egyenletet összeadva \(\displaystyle T\) értéke kiesik, így azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle R^2\pi-8^2\pi+T_1+T_2=T_3+15^2\pi.\)

A (2) egyenletből (1) alapján az következik, hogy \(\displaystyle R^2\pi=8^2\pi+15^2\pi\), a \(\displaystyle \pi\)-vel való osztás után pedig \(\displaystyle R^2=8^2+15^2=289\), innen pedig \(\displaystyle R=17\), tehát a \(\displaystyle k\) kör sugara 17 cm hosszúságú.

Megjegyzés. A feladatbeli köröket halmazoknak tekintve a \(\displaystyle T_1, T_2, T_3, T\) területeket felírhattuk volna halmazműveletek segítségével is.


Statisztika:

A C. 1715. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai